Решение системы уравнений в зависимости от параметра. Решение систем линейных уравнений. Несовместные системы. Системы с общим решением. Частные решения. Что будем делать с полученным материалом

в) (хе+у"=1, г) (х"+у"=2а - 1,

(ху=а; (ху=а - 1?

9.198. Найдите число решений системы уравнений ((х(+)у~=!,

в зависимости от параметра а.

9.199. Сколько решений в зависимости от а имеет система уравнений:

а) (х"+у"=9, б) (х"+у"+!Ох=0,

(~х~ =у - а; (у=~х - а~?

9.200. При каких значениях параметра а система уравнений

имеет три решения? Найдите зти решения.

9.201. При каких значениях параметра р система уравнений

(ру+х) (х - р УЗ)=О

имеет три решения?

9.202. При каких значениях параметра Ь система уравнений

а) 1 ~х~ +4)у~ = Ь, б) 1 х~ +2 ~у(= 1, в) (~у! +х =4

! ~у!+хг=1 ! ~у!+хг=Ь (х +У =Ь

имеет четыре различных решения?

9.208. При каких значениях параметра с система уравнений

имеет восемь различных решений?

9.204. Решите систему уравнений

где а)О, и докажите, что если а - целое число, то для

каждого решения (х; у) данной системы число 1+ху является квадратом целого числа.

9.205. При каких значениях параметра а система уравнений

х"+ у"+ 2ху - бх - бу+ 10 - а = О,

х"+ у" - 2ху - 2х+ 2У+ а = О

имеет хотя бы одно решение?

Решите систему при найденных значениях а.

9.206. Найдите все значения параметра а, при которых система

уравнений (х"+(у - 2)"=1, имеет хотя бы одно решение.

9.207. Найдите все значения параметра а, при которых окружности х" +д" = 1 и (х - а)» +д" =4 касаются.

9.208. Найдите все значения параметра а (а> О), при которых окружности х"+д"=1 и (х - 3)"+(д - 4)"=а" касаются.

Найдите координаты точки касания.

9.209. Найдите все значения а (а>0), при которых окружность

х"+д"=а" касается прямой Зх+4д=12. Найдите координаты точки касания.

Д" - 2х+ 4д = 21. Найдите координаты точек пересечения

прямой и окружности.

9.211. При каком значении параметра а прямая эд=х+1 будет

проходить через центр окружности (х - 1) +(д - а)"=8?

Найдите координаты точек пересечения прямой и окружности.

9 212. Известно, что прямая д= 12х - 9 и парабола д =ах" имеют

только одну общую точку. Найдите координаты этой точки.

9.213. При каких значениях Ь и г (Ь>0, г>0) окружность

(х - 1)"+(д - Ь)"=г" будет касаться прямых д=0 и д= - х?

Найдите координаты точек касания.

9.214. Изобразите на координатной плоскости множество точек с

координатами (а; Ь) таких, что система уравнений

имеет хотя бы одно решение.

9.215. При каких значениях параметра а система уравнений

а (х"+ 1) = д - ~ х ~ + 1,

имеет единственное решение?

9 1О. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ

Текстовые задачи, как правило, решают по следующей схеме: выбирают неизвестные; составляют уравнение или систему уравнений, а в некоторых задачах - неравенство или систему неравенств; решают полученную систему (иногда достаточно найти из системы какую-то комбинацию неизвестных, а не решать ее в обычном смысле).

К задачам с параметром можно отнести, например, поиск решения линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование уравнения на количество имеющихся корней в зависимости от значения параметра.

Не приводя подробных определений, в качестве примеров рассмотрим следующие уравнения:

у = kx, где x, y – переменные, k – параметр;

у = kx + b, где x, y – переменные, k и b – параметр;

аx 2 + bх + с = 0, где x – переменные, а, b и с – параметр.

Решить уравнение (неравенство, систему) с параметром это значит, как правило, решить бесконечное множество уравнений (неравенств, систем).

Задачи с параметром можно условно разделить на два типа:

а) в условии сказано: решить уравнение (неравенство, систему) – это значит, для всех значений параметра найти все решения. Если хотя бы один случай остался неисследованным, признать такое решение удовлетворительным нельзя.

б) требуется указать возможные значения параметра, при которых уравнение (неравенство, система) обладает определенными свойствами. Например, имеет одно решение, не имеет решений, имеет решения, принадлежащие промежутку и т. д. В таких заданиях необходимо четко указать, при каком значении параметра требуемое условие выполняется.

Параметр, являясь неизвестным фиксированным числом, имеет как бы особую двойственность. В первую очередь, необходимо учитывать, что предполагаемая известность говорит о том, что параметр необходимо воспринимать как число. Во вторую очередь, свобода обращения с параметром ограничивается его неизвестностью. Так, например, операции деления на выражение, в котором присутствует параметр или извлечения корня четной степени из подобного выражения требуют предварительных исследований. Поэтому необходима аккуратность в обращении с параметром.

Например, чтобы сравнить два числа -6а и 3а, необходимо рассмотреть три случая:

1) -6a будет больше 3a, если а отрицательное число;

2) -6а = 3а в случае, когда а = 0;

3) -6а будет меньше, чем 3а, если а – число положительное 0.

Решение и будет являться ответом.

Пусть дано уравнение kx = b. Это уравнение – краткая запись бесконечного множества уравнений с одной переменной.

При решении таких уравнений могут быть случаи:

1. Пусть k – любое действительное число не равное нулю и b – любое число изR, тогда x = b/k.

2. Пусть k = 0 и b ≠ 0, исходное уравнение примет вид 0 · x = b. Очевидно, что у такого уравнения решений нет.

3. Пусть k и b числа, равные нулю, тогда имеем равенство 0 · x = 0. Его решение – любое действительное число.

Алгоритм решения такого типа уравнений:

1. Определить «контрольные» значения параметра.

2. Решить исходное уравнение относительно х при тех значениях параметра, которые были определены в первом пункте.

3. Решить исходное уравнение относительно х при значениях параметра, отличающихся от выбранных в первом пункте.

4. Записать ответ можно в следующем виде:

1) при … (значения параметра), уравнение имеет корни …;

2) при … (значения параметра), в уравнении корней нет.

Пример 1.

Решить уравнение с параметром |6 – x| = a.

Решение.

Легко видеть, что здесь a ≥ 0.

По правилу модуля 6 – x = ±a, выразим х:

Ответ: х = 6 ± a, где a ≥ 0.

Пример 2.

Решить уравнение a(х – 1) + 2(х – 1) = 0 относительно переменной х.

Решение.

Раскроем скобки: aх – а + 2х – 2 = 0

Запишем уравнение в стандартном виде: х(а + 2) = а + 2.

В случае, если выражение а + 2 не нуль, т. е. если а ≠ -2, имеем решение х = (а + 2) / (а + 2), т.е. х = 1.

В случае, если а + 2 равно нулю, т.е. а = -2, то имеем верное равенство 0 · x = 0, поэтому х – любое действительное число.

Ответ: х = 1 при а ≠ -2 и х € R при а = -2.

Пример 3.

Решить уравнение x/a + 1 = а + х относительно переменной х.

Решение.

Если а = 0, то преобразуем уравнение к виду а + х = а 2 + ах или (а – 1)х = -а(а – 1). Последнее уравнение при а = 1 имеет вид 0 · x = 0, следовательно, х – любое число.

Если а ≠ 1, то последнее уравнение примет вид х = -а.

Данное решение можно проиллюстрировать на координатной прямой (рис. 1)

Ответ: нет решений при а = 0; х – любое число при а = 1; х = -а при а ≠ 0 и а ≠ 1.

Графический метод

Рассмотрим еще один способ решения уравнений с параметром – графический. Этот метод применяется достаточно часто.

Пример 4.

Сколько корней в зависимости от параметра a имеет уравнение ||x| – 2| = a?

Решение.

Для решения графическим методом строим графики функций y = ||x| – 2| и y = a (рис. 2) .

На чертеже наглядно видны возможные случаи расположения прямой y = a и количество корней в каждом из них.

Ответ: корней у уравнения не будет, если а < 0; два корня будет в случае, если a > 2 и а = 0; три корня уравнение будет иметь в случае а = 2; четыре корня – при 0 < a < 2.

Пример 5.

При каком а уравнение 2|x| + |x – 1| = a имеет единственный корень?

Решение.

Изобразим графики функций y = 2|x| + |x – 1| и y = a. Для y = 2|x| + |x – 1|, раскрыв модули методом промежутков, получим:

{-3x + 1, при x < 0,

y = {x + 1, при 0 ≤ x ≤ 1,

{3x – 1, при x > 1.

На рисунке 3 хорошо видно, что единственный корень уравнение будет иметь только при а = 1.

Ответ: а = 1.

Пример 6.

Определить число решений уравнения |x + 1| + |x + 2| = a в зависимости от параметра а?

Решение.

График функции y = |x + 1| + |x + 2| будет представлять собой ломаную. Ее вершины будут располагаться в точках (-2; 1) и (-1; 1) (рисунок 4) .

Ответ: если параметр a будет меньше единицы, то корней у уравнения не будет; если а = 1, то решение уравнения является бесконечное множество чисел из отрезка [-2; -1]; если значения параметра а будут больше одного, то уравнение будет иметь два корня.

Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения с параметром?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Предположим, требуется найти все пары значений переменных х и у, которые удовлетворяют уравнение
ху – 6 = 0 и уравнение у – х – 1 = 0, то есть необходимо найти пересечение множеств решений этих уравнений. В таких случаях говорят, что надо решить систему уравнений ху – 6 = 0 и у – х – 1 = 0.

Систему уравнений принято записывать с помощью фигурной скобки. Например, рассматриваемую систему уравнений можно записать так:

{ху – 6 = 0,
{у – х – 1 = 0.

Пара значений переменных, обращающая в истинное равенство каждое уравнение системы, называется решением системы уравнений с двумя переменными.

Решить систему уравнений – значит найти множество её решений.

Рассмотрим системы двух линейных уравнений с двумя переменными, в которых в каждом уравнении хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля.

Графическое решение систем такого вида сводится к отысканию координат общих точек двух прямых.

Как известно, две прямые на плоскости могут быть пересекающимися или параллельными. В случае параллельности прямые либо не имеют общих точек, либо совпадают.

Рассмотрим каждый из этих случаев.

Пример 1.

Решим систему уравнений:

{2х + у = -11,
{х – 2у = 8.

Решение.

{у = -3х – 11,
{у = 0,5х – 4.

Угловые коэффициенты прямых – графиков уравнений системы различны (-3 и 0,5), значит, прямые пересекаются.

Координаты точки их пересечения являются решением этой системы, единственным решением.

Пример 2.

Решим систему уравнений:

{3х – 2у = 12,
{6х – 4у = 11.

Решение.

Выразив из каждого уравнения у через х, получим систему:

{у = 1,5х – 6,
{у = 1,5х – 2,75.

Прямые у = 1,5х – 6 и у = 1,5х – 2,75 имеют равные угловые коэффициенты, значит эти прямые параллельны, причём прямая у = 1,5х – 6 пересекает ось у в точке (0; -6), а прямая у = 1,5х – 2,75 – в точке (0; -2,75), следовательно, прямые не имеют общих точек. Поэтому система уравнений не имеет решений.

В том, что данная система не имеет решений можно убедиться рассуждая следующим образом. Умножив все члены первого уравнения на 2, получим уравнение 6х – 4у = 24.

Сравнивая это уравнение со втором уравнением системы, видим, что левые части уравнений одинаковы, поэтому при тех же значениях х и у они не могут принимать различных значений (24 и 11). Следовательно, система

{6х – 4у = 24,
{6х – 4у = 11.

не имеет решений, значит, не имеет решений и система

{3х – 2у = 12,
{6х – 4у = 11.

Пример 3.

Решим систему уравнений:

{5х – 7у = 16,
{20х – 28у = 64.

Решение.

Разделив каждый член второго уравнения на 4, получим систему:

{5х – 7у = 16,
{5х – 7у = 16,

состоящую из двух одинаковых уравнений. Графики этих уравнений совпадают, поэтому координаты любой точки графика будут удовлетворять каждому из уравнений системы, то есть являться решением системы. Значит, данная система имеет бесконечное множество решений.

Если в каждом уравнении системы двух линейных уравнений с двумя переменными хотя бы один из коэффициентов при переменной не равен нулю, то система либо имеет единственное решение, либо имеет бесконечно много решений.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Однако на практике широко распространены еще два случая:

– Система несовместна (не имеет решений);
– Система совместна и имеет бесконечно много решений.

Примечание : термин «совместность» подразумевает, что у системы существует хоть какое-то решение. В ряде задач требуется предварительно исследовать систему на совместность, как это сделать – см. статью о ранге матриц .

Для этих систем применяют наиболее универсальный из всех способов решения – метод Гаусса . На самом деле, к ответу приведет и «школьный» способ, но в высшей математике принято использовать гауссовский метод последовательного исключения неизвестных. Те, кто не знаком с алгоритмом метода Гаусса, пожалуйста, сначала изучите урок метод Гаусса для чайников .

Сами элементарные преобразования матрицы – точно такие же , разница будет в концовке решения. Сначала рассмотрим пару примеров, когда система не имеет решений (несовместна).

Пример 1

Что сразу бросается в глаза в этой системе? Количество уравнений – меньше, чем количество переменных. Если количество уравнений меньше, чем количество переменных , то сразу можно сказать, что система либо несовместна, либо имеет бесконечно много решений. И это осталось только выяснить.

Начало решения совершенно обычное – запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

(1) На левой верхней ступеньке нам нужно получить +1 или –1. Таких чисел в первом столбце нет, поэтому перестановка строк ничего не даст. Единицу придется организовать самостоятельно, и сделать это можно несколькими способами. Я поступил так: К первой строке прибавляем третью строку, умноженную на –1.

(2) Теперь получаем два нуля в первом столбце. Ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на 3. К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на 5.

(3) После выполненного преобразования всегда целесообразно посмотреть, а нельзя ли упростить полученные строки? Можно. Вторую строку делим на 2, заодно получая нужную –1 на второй ступеньке. Третью строку делим на –3.

(4) К третьей строке прибавляем вторую строку.

Наверное, все обратили внимание на нехорошую строку, которая получилась в результате элементарных преобразований: . Ясно, что так быть не может. Действительно, перепишем полученную матрицу обратно в систему линейных уравнений:

Если в результате элементарных преобразований получена строка вида , где – число, отличное от нуля, то система несовместна (не имеет решений) .

Как записать концовку задания? Нарисуем белым мелом: «в результате элементарных преобразований получена строка вида , где » и дадим ответ: система не имеет решений (несовместна).

Если же по условию требуется ИССЛЕДОВАТЬ систему на совместность, тогда необходимо оформить решение в более солидном стиле с привлечением понятия ранга матрицы и теоремы Кронекера-Капелли .

Обратите внимание, что здесь нет никакого обратного хода алгоритма Гаусса – решений нет и находить попросту нечего.

Пример 2

Решить систему линейных уравнений

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Снова напоминаю, что ваш ход решения может отличаться от моего хода решения, у алгоритма Гаусса нет сильной «жёсткости».

Еще одна техническая особенность решения: элементарные преобразования можно прекращать сразу же , как только появилась строка вида , где . Рассмотрим условный пример: предположим, что после первого же преобразования получилась матрица . Матрица еще не приведена к ступенчатому виду, но в дальнейших элементарных преобразованиях нет никакой необходимости, так как появилась строка вида , где . Следует сразу дать ответ, что система несовместна.

Когда система линейных уравнений не имеет решений – это почти подарок, ввиду того, что получается короткое решение, иногда буквально в 2-3 действия.

Но всё в этом мире уравновешено, и задача, в которой система имеет бесконечно много решений – как раз длиннее.

Пример 3

Решить систему линейных уравнений

Тут 4 уравнений и 4 неизвестных, таким образом, система может иметь либо единственное решение, либо не иметь решений, либо иметь бесконечно много решений. Как бы там ни было, но метод Гаусса в любом случае приведет нас к ответу. В этом его и универсальность.

Начало опять стандартное. Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Вот и всё, а вы боялись.

(1) Обратите внимание, что все числа в первом столбце делятся на 2, поэтому на левой верхней ступеньке нас устраивает и двойка. Ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на –4. К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на –2. К четвертой строке прибавляем первую строку, умноженную на –1.

Внимание! У многих может возникнуть соблазн из четвертой строки вычесть первую строку. Так делать можно, но не нужно, опыт показывает, что вероятность ошибки в вычислениях увеличивается в несколько раз. Только складываем: К четвертой строке прибавляем первую строку, умноженную на –1 – именно так!

(2) Последние три строки пропорциональны, две из них можно удалить.

Здесь опять нужно проявить повышенное внимание , а действительно ли строки пропорциональны? Для перестраховки (особенно, чайнику) не лишним будет вторую строку умножить на –1, а четвертую строку разделить на 2, получив в результате три одинаковые строки. И только после этого удалить две из них.

В результате элементарных преобразований расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду:

При оформлении задачи в тетради желательно для наглядности делать такие же пометки карандашом.

Перепишем соответствующую систему уравнений:

«Обычным» единственным решением системы здесь и не пахнет. Нехорошей строки тоже нет. Значит, это третий оставшийся случай – система имеет бесконечно много решений. Иногда по условию нужно исследовать совместность системы (т.е. доказать, что решение вообще существует), об этом можно прочитать в последнем параграфе статьи Как найти ранг матрицы? Но пока разбираем азы:

Бесконечное множество решений системы коротко записывают в виде так называемого общего решения системы .

Общее решение системы найдем с помощью обратного хода метода Гаусса.

Сначала нужно определить, какие переменные у нас являются базисными , а какие переменные свободными . Не обязательно заморачиваться терминами линейной алгебры, достаточно запомнить, что вот существуют такие базисные переменные и свободные переменные .

Базисные переменные всегда «сидят» строго на ступеньках матрицы .
В данном примере базисными переменными являются и

Свободные переменные – это все оставшиеся переменные, которым не досталось ступеньки. В нашем случае их две: – свободные переменные.

Теперь нужно все базисные переменные выразить только через свободные переменные .

Обратный ход алгоритма Гаусса традиционно работает снизу вверх.
Из второго уравнения системы выражаем базисную переменную :

Теперь смотрим на первое уравнение: . Сначала в него подставляем найденное выражение :

Осталось выразить базисную переменную через свободные переменные :

В итоге получилось то, что нужно – все базисные переменные ( и ) выражены только через свободные переменные :

Собственно, общее решение готово:

Как правильно записать общее решение?
Свободные переменные записываются в общее решение «сами по себе» и строго на своих местах. В данном случае свободные переменные следует записать на второй и четвертой позиции:
.

Полученные же выражения для базисных переменных и , очевидно, нужно записать на первой и третьей позиции:

Придавая свободным переменным произвольные значения , можно найти бесконечно много частных решений . Самыми популярными значениями являются нули, поскольку частное решение получается проще всего. Подставим в общее решение:

– частное решение.

Другой сладкой парочкой являются единицы, подставим в общее решение:

– еще одно частное решение.

Легко заметить, что система уравнений имеет бесконечно много решений (так как свободным переменным мы можем придать любые значения)

Каждое частное решение должно удовлетворять каждому уравнению системы. На этом основана «быстрая» проверка правильности решения. Возьмите, например, частное решение и подставьте его в левую часть каждого уравнения исходной системы:

Всё должно сойтись. И с любым полученным вами частным решением – тоже всё должно сойтись.

Но, строго говоря, проверка частного решения иногда обманывает, т.е. какое-нибудь частное решение может удовлетворять каждому уравнению системы, а само общее решение на самом деле найдено неверно.

Поэтому более основательна и надёжна проверка общего решения. Как проверить полученное общее решение ?

Это несложно, но довольно муторно. Нужно взять выражения базисных переменных, в данном случае и , и подставить их в левую часть каждого уравнения системы.

В левую часть первого уравнения системы:

В левую часть второго уравнения системы:


Получена правая часть исходного уравнения.

Пример 4

Решить систему методом Гаусса. Найти общее решение и два частных. Сделать проверку общего решения.

Это пример для самостоятельного решения. Здесь, кстати, снова количество уравнений меньше, чем количество неизвестных, а значит, сразу понятно, что система будет либо несовместной, либо с бесконечным множеством решений. Что важно в самом процессе решения? Внимание, и еще раз внимание . Полное решение и ответ в конце урока.

И еще пара примеров для закрепления материала

Пример 5

Решить систему линейных уравнений. Если система имеет бесконечно много решений, найти два частных решения и сделать проверку общего решения

Решение : Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

(1) Ко второй строке прибавляем первую строку. К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на 2. К четвертой строке прибавляем первую строку, умноженную на 3.
(2) К третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на –5. К четвертой строке прибавляем вторую строку, умноженную на –7.
(3) Третья и четвертая строки одинаковы, одну из них удаляем.

Вот такая красота:

Базисные переменные сидят на ступеньках, поэтому – базисные переменные.
Свободная переменная, которой не досталось ступеньки здесь всего одна:

Обратный ход:
Выразим базисные переменные через свободную переменную:
Из третьего уравнения:

Рассмотрим второе уравнение и подставим в него найденное выражение :

Рассмотрим первое уравнение и подставим в него найденные выражения и :

Да, всё-таки удобен калькулятор, который считает обыкновенные дроби.

Таким образом, общее решение:

Еще раз, как оно получилось? Свободная переменная одиноко сидит на своём законном четвертом месте. Полученные выражения для базисных переменных , тоже заняли свои порядковые места.

Сразу выполним проверку общего решения. Работа для негров, но она у меня уже выполнена, поэтому ловите =)

Подставляем трех богатырей , , в левую часть каждого уравнения системы:

Получены соответствующие правые части уравнений, таким образом, общее решение найдено верно.

Теперь из найденного общего решения получим два частных решения. Шеф-поваром здесь выступает единственная свободная переменная . Ломать голову не нужно.

Пусть , тогда – частное решение.
Пусть , тогда – еще одно частное решение.

Ответ : Общее решение: , частные решения: , .

Зря я тут про негров вспомнил... ...потому что в голову полезли всякие садистские мотивы и вспомнилась известная фотожаба, на которой куклуксклановцы в белых балахонах бегут по полю за чернокожим футболистом. Сижу, тихо улыбаюсь. Знаете, как отвлекает….

Много математики вредно, поэтому похожий заключительный пример для самостоятельного решения.

Пример 6

Найти общее решение системы линейных уравнений.

Проверка общего решения у меня уже сделана, ответу можно доверять. Ваш ход решения может отличаться от моего хода решения, главное, чтобы совпали общие решения.

Наверное, многие заметили неприятный момент в решениях: очень часто при обратном ходе метода Гаусса нам пришлось возиться с обыкновенными дробями. На практике это действительно так, случаи, когда дробей нет – встречаются значительно реже. Будьте готовы морально, и, самое главное, технически.

Остановлюсь на некоторых особенностях решения, которые не встретились в прорешанных примерах.

В общее решение системы иногда может входить константа (или константы), например: . Здесь одна из базисных переменных равна постоянному числу: . В этом нет ничего экзотического, так бывает. Очевидно, что в данном случае любое частное решение будет содержать пятерку на первой позиции.

Редко, но встречаются системы, в которых количество уравнений больше количества переменных . Метод Гаусса работает в самых суровых условиях, следует невозмутимо привести расширенную матрицу системы к ступенчатому виду по стандартному алгоритму. Такая система может быть несовместной, может иметь бесконечно много решений, и, как ни странно, может иметь единственное решение.

Если система

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 ,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 ,

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m . (5.1)

оказалась совместной, т. е. матрицы системы A и матрица расширенной системы (со столбцом свободных членов) A|b имеют один и тот же ранг, то могут представиться две возможности - a) r = n; б) r < n:

а) если r = n, то имеем n независимых уравнений с n неизвестными, причем определитель D этой системы отличен от нуля. Такая система имеет единственное решение, получаемое по ;

б) если r < n, то число независимых уравнений меньше числа неизвестных.

Перенесем лишние неизвестные x r+1 , x r+2 ,..., x n , которые принято называть свободными, в правые части; наша система линейных уравнений примет вид:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1r x r = b 1 - a 1 , r+1 x r+1 -... - a 1n x n,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2r x r = b 2 - a 2 , r+1 x r+1 -... - a 2n x n,

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

a r1 x 1 + a r2 x 2 +... + a rr x r = b r - a r , r+1 x r+1 -... - a rn x n.

Ее можно решить относительно x 1 , x 2 ,..., x r , так как определитель этой системы (r-го порядка) отличен от нуля. Придавая свободным неизвестным произвольные числовые значения, получим по формулам Крамера соответствующие числовые значения для x 1 , x 2 ,..., x r. Таким образом, при r < n имеем бесчисленное множество решений.

Система (5.1) называется однородной , если все b i = 0, т. е. она имеет вид:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = 0, a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = 0, (5.5) ... ... ... ... ... ... a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = 0.

Из теоремы Кронекера-Капелли следует, что она всегда совместна, так как добавление столбца из нулей не может повысить ранга матрицы. Это, впрочем, видно и непосредственно - система (5.5) заведомо обладает нулевым, или тривиальным, решением x 1 = x 2 =... = x n = 0. Пусть матрица А системы (5.5) имеет ранг r. Если r = n, то нулевое решение будет единственным решением системы (5.5); при r < n система обладает решениями, отличными от нулевого, и для их разыскания применяют тот же прием, как и в случае произвольной системы уравнений. Всякий ненулевой вектор - столбец X= (x 1 , x 2 ,..., x n) T называется собственным вектором линейного преобразования (квадратной матрицы A), если найдется такое число λ, что будет выполняться равенство

Число λ называется собственным значением линейного преобразования (матрицы A), соответствующим вектору X. Матрица A имеет порядок n. В математической экономике большую роль играют так называемые продуктивные матрицы . Доказано, что матрица A является продуктивной тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы A по модулю меньше единицы. Для нахождения собственных значений матрицы A перепишем равенство AX = λX в виде (A - λE)X = 0, где E- единичная матрица n-го порядка или в координатной форме:

(a 11 -λ)x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n =0,

a 21 x 1 + (a 22 -λ)x 2 +... + a 2n x n = 0, (5.6)

... ... ... ... ... ... ... ... ... a n1 x 1 + a n2 x 2 +... + (a nn -λ)x n = 0.

Получили систему линейных однородных уравнений, которая имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю, т.е.

Получили уравнение n-ой степени относительно неизвестной λ, которое называется характеристическим уравнением матрицы A, многочлен называется характеристическим многочленом матрицы A, а его корни - характеристическими числами, или собственными значениями, матрицы A. Для нахождения собственных матрицы A в векторное уравнение (A - λE)X = 0 или в соответствующую систему однородных уравнений (5.6) нужно подставить найденные значения λ и решать обычным образом. Пример 2.16 . Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна.

x 1 + x 2 - 2x 3 - x 4 + x 5 =1, 3x 1 - x 2 + x 3 + 4x 4 + 3x 5 =4, x 1 + 5x 2 - 9x 3 - 8x 4 + x 5 =0.

Решение. Будем находить ранги матриц A и A|b методом элементарных преобразований, приводя одновременно систему к ступенчатому виду:

Очевидно, что r(A) = r(A|b) = 2. Исходная система равносильна следующей, приведенной к ступенчатому виду:

x 1 + x 2 - 2x 3 - x 4 + x 5 = 1, - 4x 2 + 7x 3 + 7x 4 = 1.

Поскольку определитель при неизвестных x 1 и x 2 отличен от нуля, то их можно принять в качестве главных и переписать систему в виде:

x 1 + x 2 = 2x 3 + x 4 - x 5 + 1, - 4x 2 = - 7x 3 - 7x 4 + 1,

Откуда x 2 = 7/4 x 3 + 7/4 x 4 -1/4, x 1 = 1/4 x 3 -3/4 x 4 - x 5 + 5/4 - общее решение системы, имеющей бесчисленное множество решений. Придавая свободным неизвестным x 3 , x 4 , x 5 конкретные числовые значения, будем получать частные решения. Например, при x 3 = x 4 = x 5 = 0 x 1 = 5/4, x 2 = - 1/4. Вектор C(5/4, - 1/4, 0, 0, 0) является частным решением данной системы. Пример 2.17. Исследовать систему уравнений и найти общее решение в зависимости от значения параметра а .

2x 1 - x 2 + x 3 + x 4 = 1, x 1 + 2x 2 - x 3 + 4x 4 = 2, x 1 + 7x 2 - 4x 3 + 11x 4 = a.

Решение. Данной системе соответствует матрица . Имеем А ~

следовательно, исходная система равносильна такой:

x 1 + 2x 2 - x 3 + 4x 4 = 2,

5x 2 - 3x 3 + 7x 4 = a-2,

Отсюда видно, что система совместна только при a=5. Общее решение в этом случае имеет вид:

x 2 = 3/5 + 3/5x 3 - 7/5x 4 , x 1 = 4/5 - 1/5x 3 - 6/5x 4.

Пример 2.18. Выяснить, будет ли линейно зависимой система векторов:

a 1 =(1, 1, 4, 2),

a 2 = (1, -1, -2, 4),

a 3 = (0, 2, 6, -2),

a 4 =(-3, -1, 3, 4),

a 5 =(-1, 0, - 4, -7),

Решение. Система векторов является линейно зависимой, если найдутся такие числа x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , из которых хотя бы одно отлично от нуля
(см. п. 1. разд. I), что выполняется векторное равенство:

x 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3 + x 4 a 4 + x 5 a 5 = 0.

В координатной записи оно равносильно системе уравнений:

x 1 + x 2 - 3x 4 - x 5 = 0, x 1 - x 2 + 2x 3 - x 4 = 0, 4x 1 - 2x 2 + 6x 3 +3x 4 - 4x 5 = 0, 2x 1 + 4x 2 - 2x 3 + 4x 4 - 7x 5 = 0.

Итак, получили систему линейных однородных уравнений. Решаем ее методом исключения неизвестных:

Система приведена к ступенчатому виду, равен 3, значит, однородная система уравнений имеет решения, отличные от нулевого (r < n). Определитель при неизвестных x 1 , x 2 , x 4 отличен от нуля, поэтому их можно выбрать в качестве главных и переписать систему в виде:

x 1 + x 2 - 3x 4 = x 5 , -2x 2 + 2x 4 = -2x 3 - x 5 , - 3x 4 = - x 5 .

Имеем: x 4 = 1/3 x 5 , x 2 = 5/6x 5 +x 3 , x 1 = 7/6 x 5 -x 3 . Система имеет бесчисленное множество решений; если свободные неизвестные x 3 и x 5 не равны нулю одновременно, то и главные неизвестные отличны от нуля. Следовательно, векторное уравнение

x 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3 + x 4 a 4 + x 5 a 5 = 0