Два вектора называются равными если. Векторы. Виды векторов

Страница 1 из 2

Вопрос 1. Что такое вектор? Как обозначаются векторы?
Ответ. Вектором мы будем называть направленный отрезок (рис. 211). Направление вектора определяется указанием его начала и конца. На чертеже направление вектора отмечается стрелкой. Для обозначения векторов будем пользоваться строчными латинскими буквами a, b, c, ... . Можно также обозначить вектор указанием его начала и конца. При этом начало вектора ставится на первом месте. Вместо слова "вектор" над буквенным обозначением вектора иногда ставится стрелка или черта. Вектор на рисунке 211 можно обозначить так:

\(\overline{a}\), \(\overrightarrow{a}\) или \(\overline{AB}\), \(\overrightarrow{AB}\).

Вопрос 2. Какие векторы называются одинаково направленными (противоположно направленными)?
Ответ. Векторы \(\overline{AB}\) и \(\overline{CD}\) называются одинаково направленными, если полупрямые AB и CD одинаково направлены.
Векторы \(\overline{AB}\) и \(\overline{CD}\) называются противоположно направленными, если полупрямые AB и CD противоположно направлены.
На рисунке 212 векторы \(\overline{a}\) и \(\overline{b}\) одинаково направлены, а векторы \(\overline{a}\) и \(\overline{c}\) противоположно направлены.

Вопрос 3. Что такое абсолютная величина вектора?
Ответ. Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Абсолютная величина вектора \(\overline{a}\) обозначается |\(\overline{a}\)|.

Вопрос 4. Что такое нулевой вектор?
Ответ. Начало вектора может совпадать с его концом. Такой вектор будем называть нулевым вектором. Нулевой вектор обозначается нулём с чёрточкой (\(\overline{0}\)). О направлении нулевого вектора не говорят. Абсолютная величина нулевого вектора считается равной нулю.

Вопрос 5. Какие векторы называются равными?
Ответ. Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. Это означает, что существует параллельный перенос, который переводит начало и конец одного вектора соответственно в начало и конец другого вектора.

Вопрос 6. Докажите, что равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине. И обратно: одинаково направленные векторы, равные по абсолютной величине, равны.
Ответ. При параллельном переносе вектор сохраняет своё направление, а также свою абсолютную величину. Значит, равные векторы направлены одинаково и равны по абсолютной величине.
Пусть \(\overline{AB}\) и \(\overline{CD}\) – одинаково направленные векторы, равные по абсолютной величине (рис. 213). Параллельный перенос, переводящий точку C в точку A, совмещает полупрямую CD с полупрямой AB, так как они одинаково направлены. А так как отрезки AB и CD равны, то при этом точка D совмещается с точкой B, т.е. параллельный перенос переводит вектор \(\overline{CD}\) в вектор \(\overline{AB}\). Значит, векторы \(\overline{AB}\) и \(\overline{CD}\) равны, что и требовалось доказать.

Вопрос 7. Докажите, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному вектору, и только один.
Ответ. Пусть CD – прямая, а вектор \(\overline{CD}\) – часть прямой CD. Пусть AB – прямая, в которую переходит прямая CD при параллельном переносе, \(\overline{AB}\) – вектор, в который при параллельном переносе переходит вектор \(\overline{CD}\), а значит, векторы \(\overline{AB}\) и \(\overline{CD}\) равны, а прямые AB и CD параллельны (см. рис. 213). Как мы знаем, через точку не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной (аксиома параллельных прямых). Значит, через точку A можно провести одну прямую, параллельную прямой CD. Так как вектор \(\overline{AB}\) – часть прямой AB, то через точку A можно провести один вектор \(\overline{AB}\), равный вектору \(\overline{CD}\).

Вопрос 8. Что такое координаты вектора? Чему равна абсолютная величина вектора с координатами a 1 , a 2 ?
Ответ. Пусть вектор \(\overline{a}\) имеет началом точку A 1 (x 1 ; y 1), а концом точку A 2 (x 2 ; y 2). Координатами вектора \(\overline{a}\) будем называть числа a 1 = x 2 - x 1 , a 2 = y 2 - y 1 . Координаты вектора будем ставить рядом с буквенным обозначением вектора, в данном случае \(\overline{a}\) (a 1 ; a 2) или просто \((\overline{a 1 ; a 2 })\). Координаты нулевого вектора равны нулю.
Из формулы, выражающей расстояние между двумя точками через их координаты, следует, что абсолютная величина вектора с координатами a 1 , a 2 равна \(\sqrt{a^2 1 + a^2 2 }\).

Вопрос 9. Докажите, что равные векторы имеют соответственно равные координаты, а векторы с соответственно равными координатами равны.
Ответ. Пусть A 1 (x 1 ; y 1) и A 2 (x 2 ; y 2) – начало и конец вектора \(\overline{a}\). Так как равный ему вектор \(\overline{a"}\) получается из вектора \(\overline{a}\) параллельным переносом, то его началом и концом будут соответственно A" 1 (x 1 + c; y 1 + d), A" 2 (x 2 + c; y 2 + d). Отсюда видно, что оба вектора \(\overline{a}\) и \(\overline{a"}\) имеют одни и те же координаты: x 2 - x 1 , y 2 - y 1 .
Докажем теперь обратное утверждение. Пусть соответствующие координаты векторов \(\overline{A 1 A 2 }\) и \(\overline{A" 1 A" 2 }\) равны. Докажем, что векторы равны.
Пусть x" 1 и y" 1 - координаты точки A" 1 , а x" 2 , y" 2 - координаты точки A" 2 . По условию теоремы x 2 - x 1 = x" 2 - x" 1 , y 2 - y 1 = y" 2 - y" 1 . Отсюда x" 2 = x 2 + x" 1 - x 1 , y" 2 = y 2 + y" 1 - y 1 . Параллельный перенос, заданный формулами

x" = x + x" 1 - x 1 , y" = y + y" 1 - y 1 ,

переводит точку A 1 в точку A" 1 , а точку A 2 в точку A" 2 , т.е. векторы \(\overline{A 1 A 2 }\) и \(\overline{A" 1 A" 2 }\) равны, что и требовалось доказать.

Вопрос 10. Дайте определение суммы векторов.
Ответ. Суммой векторов \(\overline{a}\) и \(\overline{b}\) с координатами a 1 , a 2 и b 1 , b 2 называется вектор \(\overline{c}\) с координатами a 1 + b 1 , a 2 + b a 2 , т.е.

\(\overline{a} (a 1 ; a 2) + \overline{b}(b 1 ; b 2) = \overline{c} (a 1 + b 1 ; a 2 + b 2)\).

При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых значений. Такие величины называются скалярными или, короче, скалярами .

Скалярными величинами являются длина, площадь, объем, масса, температура тела и др. Помимо скалярных величин, в различных задачах встречаются величины, для определения которых, кроме числового значения, необходимо знать также их направление. Такие величины называются векторными . Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, двигающейся в пространстве, скорость и ускорение этой точки, а также действующая на нее сила.

Векторные величины изображаются с помощью векторов.

Определение вектора . Вектором называется направленный отрезок прямой, имеющий определенную длину.

Вектор характеризуется двумя точками. Одна точка – это точка начала вектора, другая точка – это точка конца вектора. Если обозначить начало вектора точкой А , а конец вектора точкой В , то сам вектор обозначается . Вектор можно обозначать и одной малой латинской буквой с чертой над ней (например, ).

Графически, вектор обозначается отрезком со стрелкой на конце.

Начало вектора называют точкой его приложения. Если точка А является началом вектора , то мы будем говорить, что вектор приложен в точке А.

Вектор характеризуется двумя величинами: длиной и направлением.

Длина вектора – расстояние между точками начала A и конца B. Другое название длины вектора – модуль вектора и обозначается символом . Модуль вектора обозначается Вектор, длина которого равна 1, называется единичным вектором. Т.е., условие для единичного вектора

Вектор с нулевой длиной называется нулевым вектором (обозначается ). Очевидно, что у нулевого вектора совпадают точки начала и конца. Нулевой вектор не имеет определенного направления.

Определение коллинеарных векторов . Векторы и , расположенные на одной прямой или на параллельных прямых называются коллинеарными.

Заметим, что коллинеарные вектора могут иметь разную длину и разное направление.

Определение равных векторов. Два вектора и называются равными, если они коллинеарные, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

В этом случае пишут:

Замечание . Из определения равенства векторов следует, что вектор можно параллельно переносить, помещая его начало в любую точку пространства (в частности, плоскости).

Все нулевые векторы считаются равными.

Определение противоположных векторов. Два вектора и называются противоположными, если они коллинеарные, имеют одинаковую длину, но противоположное направление.

В этом случае пишут:

Другими словами, вектор, противоположный вектору , обозначается как .

Вектором называется направленный отрезок прямой евклидова пространства, у которого один конец (точка A) называется началом вектора, а другой конец (точка B) концом вектора (Рис. 1). Векторы обозначаются:

Если начало и конец вектора совпадают, то вектор называется нулевым вектором и обозначается 0 .

Пример. Пусть в двухмерном пространстве начало вектора имеет координаты A (12,6) , а конец вектора - координаты B (12,6). Тогда вектор является нулевым вектором.

Длина отрезка AB называется модулем (длиной , нормой ) вектора и обозначается |a |. Вектор длины, равной единице, называется единичным вектором . Кроме модуля вектор характеризуется направлением: вектор имеет направление от A к B . Вектор называется вектором, противоположным вектору .

Два вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. На рисунке Рис. 3 красные векторы коллинеарны, т.к. они лажат на одной прямой, а синие векторы коллинеарны, т.к. они лежат на параллельных прямых. Два коллинеарных вектора называются одинаково направленными , если их концы лежат по одну сторону от прямой, соединяющей их начала. Два коллинеарных вектора называются противоположно направленными , если их концы лежат по разные стороны от прямой, соединяющей их начала. Если два коллинеарных вектора лежат на одной прямой, то они называются одинаково направленными, если один из лучей, образованным одним вектором полностью содержит луч, образованным другим вектором. В противном случае векторы называются противоположно направленными. На рисунке Рис.3 синие векторы одинаково направлены, а красные векторы противоположно направлены.

Два вектора называются равными если они имеют равные модули и одинаково направлены. На рисунке Рис.2 векторы равны т.к. их модули равны и имеют одинаковое направление.

Векторы называются компланарными , если они лежат на одной плоскости или в параллельных плоскостях.

В n мерном векторном пространстве рассмотрим множество всех векторов, начальная точка которых совпадает с началом координат. Тогда вектор можно записать в следующем виде:

где x 1 , x 2 , ..., x n координаты конечной точки вектора x .

Вектор, записанный в виде (1) называется вектор-строкой , а вектор, записанный в виде

называется вектор-столбцом .

Число n называется размерностью (порядком ) вектора. Если то вектор называется нулевым вектором (т.к. начальная точка вектора ). Два вектора x и y равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие элементы.