Основное тригонометрическое тождество. Основные тригонометрические тождества, их формулировки и вывод. Чтобы доказать тождество нужно доказать, что его правая и левая части равны, т.е. свести его к виду «выражение» = «такое же выражение»

В статье подробно рассказывается об основных тригонометрических тождествах.Эти равенства устанавливают связь между sin , cos , t g , c t g заданного угла. При известной одной функции можно через нее найти другую.

Тригонометрические тождества для рассмотрения в денной статье. Ниже покажем пример их выведения с объяснением.

sin 2 α + cos 2 α = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α · c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α

Поговорим о важном тригонометрическом тождестве, которое считается основой основ в тригонометрии.

sin 2 α + cos 2 α = 1

Заданные равенства t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α выводят из основного путем деления обеих частей на sin 2 α и cos 2 α . После чего получаем t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α и t g α · c t g α = 1 - это следствие определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Равенство sin 2 α + cos 2 α = 1 является основным тригонометрическим тождеством. Для его доказательства необходимо обратиться к теме с единичной окружностью.

Пусть даны координаты точки А (1 , 0) , которая после поворота на угол α становится в точку А 1 . По определению sin и cos точка А 1 получит координаты (cos α , sin α) . Так как А 1 находится в пределах единичной окружности, значит, координаты должны удовлетворят условию x 2 + y 2 = 1 этой окружности. Выражение cos 2 α + sin 2 α = 1 должно быть справедливым. Для этого необходимо доказать основное тригонометрическое тождество для всех углов поворота α .

В тригонометрии выражение sin 2 α + cos 2 α = 1 применяют как теорему Пифагора в тригонометрии. Для этого рассмотрим подробное доказательство.

Используя единичную окружность, поворачиваем точку А с координатами (1 , 0) вокруг центральной точки О на угол α . После поворота точка меняет координаты и становится равной А 1 (х, у) . Опускаем перпендикулярную прямую А 1 Н на О х из точки А 1 .

На рисунке отлично видно, что образовался прямоугольный треугольник О А 1 Н. По модулю катеты О А 1 Н и О Н равные, запись примет такой вид: | А 1 H | = | у | , | О Н | = | х | . Гипотенуза О А 1 имеет значение равное радиусу единичной окружности, | О А 1 | = 1 . Используя данное выражение, можем записать равенство по теореме Пифагора: | А 1 Н | 2 + | О Н | 2 = | О А 1 | 2 . Это равенство запишем как | y | 2 + | x | 2 = 1 2 , что означает y 2 + x 2 = 1 .

Используя определение sin α = y и cos α = x , подставим данные угла вместо координат точек и перейдем к неравенству sin 2 α + cos 2 α = 1 .

Основная связь между sin и cos угла возможна через данное тригонометрическое тождество. Таким образом, можно считать sin угла с известным cos и наоборот. Чтобы выполнить это, необходимо разрешать sin 2 α + cos 2 = 1 относительно sin и cos , тогда получим выражения вида sin α = ± 1 - cos 2 α и cos α = ± 1 - sin 2 α соответственно. Величина угла α определяет знак перед корнем выражения. Для подробного выяснения необходимо прочитать раздел вычисление синуса, косинуса, тангенса и котангенса с использованием тригонометрических формул.

Чаще всего основную формулу применяют для преобразований или упрощений тригонометрических выражений. Имеется возможность заменять сумму квадратов синуса и косинуса на 1 . Подстановка тождества может быть как в прямом, так и обратном порядке: единицу заменяют на выражение суммы квадратов синуса и косинуса.

Тангенс и котангенс через синус и косинус

Из определения косинуса и синуса, тангенса и котангенса видно, что они взаимосвязаны друг с другом, что позволяет отдельно преобразовывать необходимые величины.

t g α = sin α cos α c t g α = cos α sin α

Из определения синус является ординатой у, а косинус – абсциссой x . Тангенс – это и есть отношения ординаты и абсциссы. Таким образом имеем:

t g α = y x = sin α cos α , а выражение котангенса имеет обратное значение, то есть

c t g α = x y = cos α sin α .

Отсюда следует, что полученные тождества t g α = sin α cos α и c t g α = cos α sin α задаются с помощью sin и cos углов. Тангенс считаются отношением синуса к косинусу угла между ними, а котангенс наоборот.

Отметим, что t g α = sin α cos α и c t g α = cos α sin α верны для любого значение угла α , значения которого входят в диапазон. Из формулы t g α = sin α cos α значение угла α отлично от π 2 + π · z , а c t g α = cos α sin α принимает значение угла α , отличные от π · z , z принимает значение любого целого числа.

Связь между тангенсом и котангенсом

Имеется формула, которая показывает связь между углами через тангенс и котангенс. Данное тригонометрическое тождество является важным в тригонометрии и обозначается как t g α · c t g α = 1 . Оно имеет смысл при α с любым значением, кроме π 2 · z , иначе функции будут не определены.

Формула t g α · c t g α = 1 имеет свои особенности в доказательстве. Из определения мы имеем, что t g α = y x и c t g α = x y , отсюда получаем t g α · c t g α = y x · x y = 1 . Преобразовав выражение и подставив t g α = sin α cos α и c t g α = cos α sin α , получим t g α · c t g α = sin α cos α · cos α sin α = 1 .

Тогда выражение тангенса и котангенса имеет смысл того, когда в итоге получаем взаимно обратные числа.

Тангенс и косинус, котангенс и синус

Преобразовав основные тождества, приходим к выводу, что тангенс связан через косинус, а котангенс через синус. Это видно по формулам t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α .

Определение звучит так: сумма квадрата тангенса угла и 1 приравнивается к дроби, где в числителе имеем 1 , а в знаменателе квадрат косинуса данного угла, а сумма квадрата котангенса угла наоборот. Благодаря тригонометрическому тождеству sin 2 α + cos 2 α = 1 , можно разделить соответствующие стороны на cos 2 α и получить t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , где значение cos 2 α не должно равняться нулю. При делении на sin 2 α получим тождество 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α , где значение sin 2 α не должно равняться нулю.

Из приведенных выражений получили, что тождество t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α верно при всех значениях угла α , не принадлежащих π 2 + π · z , а 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α при значениях α , не принадлежащих промежутку π · z .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Примеры тождеств:

\(2(x+5)=2x+10\);
\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\);
\(1-\sin^2⁡x=\cos^2⁡x\).

А вот выражение \(\frac{x^2}{x}=x\) является тождеством только при условии \(x≠0\) (иначе левая часть не существует).

Как доказывать тождество?

Рецепт до одури прост:

Чтобы доказать тождество нужно доказать, что его правая и левая части равны, т.е. свести его к виду «выражение» = «такое же выражение».

Например,

\(5=5\);
\(\sin^2⁡x=\sin^2⁡x\);
\(\cos⁡x-4=\cos⁡x-4\).

Для того, чтоб это сделать можно:

1. Преобразовывать только правую или только левую часть.
2. Преобразовывать обе части одновременно.
3. Использовать любые допустимые математические преобразования (например, приводить подобные; раскрывать скобки; переносить слагаемые из одной части в другую, меняя знак; умножать или делить левую и правую часть на одно и то же число или выражение, не равное нулю и т.д.).
4. Использовать любые математические формулы.

Именно четвертый пункт при доказательстве тождеств используется чаще всего, поэтому все нужно знать, помнить и уметь использовать.

Пример . Доказать тригонометрическое тождество \(\sin⁡2x=2\sin⁡x\cdot \cos{x}\)
Решение :

Пример . Доказать, что выражение \(\frac {\cos^2{t}}{1-\sin⁡{t}}\) \(-\sin{⁡t}=1\) является тождеством.
Решение :

Пример . Доказать тригонометрическое тождество \(1-tg^2 t=\)\(\frac{\cos⁡2t}{\cos^2⁡t}\)
Решение :

\(1-tg^2 t=\)\(\frac{\cos⁡2t}{\cos^2⁡t}\)		Здесь будем преобразовывать только правую часть, стремясь свести ее к левой. Левую же оставляем неизменной. Вспоминаем .
\(1-tg^2 t=\)		Теперь сделаем почленное деление в дроби (т.е. применим в обратную сторону): \(\frac{a+c}{b}\) \(=\) \(\frac{a}{b}\) \(+\)\(\frac{c}{b}\)
\(1-tg^2 t=\)\(\frac{\cos^2⁡t}{\cos^2⁡t}\) \(-\)\(\frac{\sin^2⁡t}{\cos^2⁡t}\)		Первую дробь правой части сократим, а ко второй применим : \(\frac{a^n}{b^n}\) \(=\)\((\frac{a}{b})^n\) .
\(1-tg^2 t=1-\)\((\frac{\sin⁡t}{\cos⁡t})^2\)		Ну, а синус деленный на косинус равен того же угла: \(\frac{\sin⁡x}{\cos⁡x}\) \(=tg x\)
\(1-tg^2 t=1-tg^2 t\)

Пример . Доказать тригонометрическое тождество \(=ctg(π+t)-1\)
Решение :

\(\frac{\cos⁡2t}{\sin⁡t\cdot\cos⁡t+\sin^2⁡t}\) \(=ctg(π+t)-1\)		Здесь будем преобразовывать обе части: - в левой: преобразуем \(\cos⁡2t\) по формуле двойного угла; - а в правой \(ctg(π+t)\) по .
\(\frac{\cos^2⁡t-\sin^2⁡t}{\sin⁡t\cdot\cos⁡t+\sin^2⁡t}\) \(=ctg\:t-1\)		Теперь работаем только с левой частью. В числителе воспользуемся , в знаменателе за скобку синус.
\(\frac{(\cos⁡t-\sin{t})(\cos⁡t+\sin{t})}{\sin⁡t(\cos⁡t+\sin⁡{t})}\) \(=ctg\:t-1\)		Сократим дробь на \(\cos{⁡t}+\sin{⁡t}\).
\(\frac{\cos⁡t-\sin{t}}{\sin⁡t}\) \(=ctg\:t-1\)		Почленно разделим дробь, превратив ее в две отдельные дроби.
\(\frac{\cos⁡t}{\sin{t}}-\frac{\sin{t}}{\sin{t}}\) \(=ctg\:t-1\)		Первая дробь это , а вторая равна единице.
\(ctg\:t-1=ctg\:t-1\)		Левая часть равна правой, тождество доказано.

Как видите, все довольно несложно, но надо знать все формулы и свойства.

Как доказать основное тригонометрическое тождество

Два простых способа вывести формулу \(\sin^2x+\cos^2x=1\). Нужно знать только теорему Пифагора и определение синуса и косинуса.

Ответы на часто задаваемые вопросы:

Вопрос: Как определить, что в тождестве надо преобразовывать – левую часть, правую или обе вместе?
Ответ: Нет никакой разницы – в любом случае вы получите один и тот же результат. Например, в третьем примере мы легко могли бы получить из левой части \(1-tg^2 t\) правую \(\frac{cos⁡2t}{cos^2⁡t}\) (попробуйте сделать это сами). Или преобразовывать обе, с тем чтоб они «встретились посередине», где-то в районе \(\frac{\cos^2⁡t-\sin^2⁡t}{\cos^2⁡t}\) \(=\)\(\frac{\cos^2⁡t-\sin^2⁡t}{\cos^2⁡t}\) . Поэтому вы можете доказывать любым удобным вам способом. Какую «тропинку» видите – по той и идите. Главное только – преобразовывайте «законно», то есть понимайте на основании какого свойства, правила или формулы вы делаете очередное преобразование.

Тригонометрические функции - Запрос «sin» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Запрос «sec» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Запрос «Синус» перенаправляется сюда; см. также другие значения … Википедия

Tan

Рис. 1 Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса Тригонометрические функции вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x),… … Википедия

Косинус - Рис. 1 Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса Тригонометрические функции вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x),… … Википедия

Котангенс - Рис. 1 Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса Тригонометрические функции вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x),… … Википедия

Секанс - Рис. 1 Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса Тригонометрические функции вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x),… … Википедия

История тригонометрии - Геодезические измерения (XVII век) … Википедия

Формула тангенса половинного угла - В тригонометрии, формула тангенса половинного угла связывает тангенс половинного угла с тригонометрическими функциями полного угла: Различные вариации этой формулы выглядят следующим образом … Википедия

Тригонометрия - (от греч. τρίγονο (треугольник) и греч. μετρειν (измерять), то есть измерение треугольников) раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Данный термин впервые появился в 1595 г. как… … Википедия

Решение треугольников - (лат. solutio triangulorum) исторический термин, означающий решение главной тригонометрической задачи: по известным данным о треугольнике (стороны, углы и т. д.) найти остальные его характеристики. Треугольник может располагаться на… … Википедия

Книги

• Комплект таблиц. Алгебра и начала анализа. 10 класс. 17 таблиц + методика , . Таблицы отпечатаны на плотном полиграфическом картоне размером 680 х 980 мм. В комплект входит брошюра с методическими рекомендациями для учителя. Учебный альбом из 17 листов.… Купить за 4339 руб
• Таблицы интегралов и другие математические формулы , Г. Б. Двайт. Девятое издание известного справочника содержит весьма подробные таблицы неопределенных и определенных интегралов, а также большое число других математических формул: разложения в ряды,…

Для решения некоторых задач будет полезной таблица тригонометрических тождеств, которая позволит гораздо проще совершать преобразования функций:

Простейшие тригонометрические тождества

Частное от деления синуса угла альфа на косинус того же угла равно тангенсу этого угла (Формула 1). См. также доказательство правильности преобразования простейших тригонометрических тождеств .
Частное от деления косинуса угла альфа на синус того же угла равно котангенсу этого же угла (Формула 2)
Секанс угла равен единице, деленной на косинус этого же самого угла (Формула 3)
Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице (Формула 4). см. также доказательство суммы квадратов косинуса и синуса .
Сумма единицы и тангенса угла равна отношению единицы к квадрату косинуса этого угла (Формула 5)
Единица плюс котангенс угла равна частному от деления единицы на синус квадрат этого угла (Формула 6)
Произведение тангенса на котангенс одного и того же угла равно единице (Формула 7).

Преобразование отрицательных углов тригонометрических функций (четность и нечетность)

Для того, чтобы избавиться от отрицательного значения градусной меры угла при вычислении синуса, косинуса или тангенса, можно воспользоваться следующими тригонометрическими преобразованиями (тождествами), основанными на принципах четности или нечетности тригонометрических функций.

Как видно, косинус и секанс является четной функцией , синус, тангенс и котангенс - нечетные функции .

Синус отрицательного угла равен отрицательному значению синуса этого же самого положительного угла (минус синус альфа).
Косинус "минус альфа" даст тоже самое значение, что и косинус угла альфа.
Тангенс минус альфа равен минус тангенс альфа.

Формулы приведения двойного угла (синус, косинус, тангенс и котангенс двойного угла)

Если необходимо разделить угол пополам, или наоборот, перейти от двойного угла к одинарному, можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:

Преобразование двойного угла (синуса двойного угла, косинуса двойного угла и тангенса двойного угла ) в одинарный происходит по следующим правилам:

Синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса на косинус одинарного угла

Косинус двойного угла равен разности квадрата косинуса одинарного угла и квадрата синуса этого угла

Косинус двойного угла равен удвоенному квадрату косинуса одинарного угла минус единица

Косинус двойного угла равен единице минус двойной синус квадрат одинарного угла

Тангенс двойного угла равен дроби, числитель которой - удвоенный тангенс одинарного угла, а знаменатель равен единице минус тангенс квадрат одинарного угла.

Котангенс двойного угла равен дроби, числитель которой - квадрат котангенса одинарного угла минус единица, а знаменатель равен удвоенному котангенсу одинарного угла

Формулы универсальной тригонометрической подстановки

Указанные ниже формулы преобразования могут пригодиться, когда нужно аргумент тригонометрической функции (sin α, cos α, tg α) разделить на два и привести выражение к значению половины угла. Из значения α получаем α/2 .

Данные формулы называются формулами универсальной тригонометрической подстановки . Их ценность заключается в том, что тригонометрическое выражение с их помощью сводится к выражению тангенса половины угла, вне зависимости от того, какие тригонометрические функции (sin cos tg ctg) были в выражении изначально. После этого уравнение с тангенсом половины угла решить гораздо проще.

Тригонометрические тождества преобразования половины угла

Указанные ниже формулы тригонометрического преобразования половинной величины угла к его целому значению.
Значение аргумента тригонометрической функции α/2 приводится к значению аргумента тригонометрической функции α.

Тригонометрические формулы сложения углов

cos (α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β

sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α

sin (α - β) = sin α · cos β - sin β · cos α
cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β

Тангенс и котангенс суммы углов альфа и бета могут быть преобразованы по следующим правилам преобразования тригонометрических функций:

Тангенс суммы углов равен дроби, числитель которой - сумма тангенса первого и тангенса второго угла, а знаменатель - единица минус произведение тангенса первого угла на тангенс второго угла.

Тангенс разности углов равен дроби, числитель которой равен разности тангенса уменьшаемого угла и тангенса вычитаемого угла, а знаменатель - единице плюс произведение тангенсов этих углов.

Котангенс суммы углов равен дроби, числитель которой равен произведению котангенсов этих углов плюс единица, а знаменатель равен разности котангенса второго угла и котангенса первого угла.

Котангенс разности углов равен дроби, числитель которой - произведение котангенсов этих углов минус единица, а знаменатель равен сумме котангенсов этих углов.

Данные тригонометрические тождества удобно применять, когда нужно вычислить, например, тангенс 105 градусов (tg 105). Если его представить как tg (45 + 60), то можно воспользоваться приведенными тождественными преобразованиями тангенса суммы углов, после чего просто подставить табличные значения тангенса 45 и тангенса 60 градусов.

Формулы преобразования суммы или разности тригонометрических функций

Выражения, представляющие собой сумму вида sin α + sin β можно преобразовать с помощью следующих формул:

Формулы тройного угла - преобразование sin3α cos3α tg3α в sinα cosα tgα

Иногда необходимо преобразовать тройную величину угла так, чтобы аргументом тригонометрической функции вместо 3α стал угол α.
В этом случае можно воспользоваться формулами (тождествами) преобразования тройного угла:

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций

Если возникает необходимость преобразовать произведение синусов разных углов косинусов разных углов или даже произведения синуса на косинус, то можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:


В этом случае произведение функций синуса, косинуса или тангенса разных углов будет преобразовано в сумму или разность.

Формулы приведения тригонометрических функций

Пользоваться таблицей приведения нужно следующим образом. В строке выбираем функцию, которая нас интересует. В столбце - угол. Например, синус угла (α+90) на пересечении первой строки и первого столбца выясняем, что sin (α+90) = cos α .

Если говорить просто, то это овощи, приготовленные в воде по специальному рецепту. Я буду рассматривать два исходных компонента (овощной салат и воду) и готовый результат - борщ. Геометрически это можно представить как прямоугольник, в котором одна сторона обозначает салат, вторая сторона обозначает воду. Сумма этих двух сторон будет обозначать борщ. Диагональ и площадь такого "борщевого" прямоугольника являются чисто математическими понятиями и никогда не используются в рецептах приготовления борща.

Как салат и вода превращаются в борщ с точки зрения математики? Как сумма двух отрезков может превратиться в тригонометрию? Чтобы понять это, нам понадобятся линейные угловые функции.

В учебниках математики вы ничего не найдете о линейных угловых функциях. А ведь без них не может быть математики. Законы математики, как и законы природы, работают независимо от того, знаем мы о их существовании или нет.

Линейные угловые функции - это законы сложения. Посмотрите, как алгебра превращается в геометрию, а геометрия превращается в тригонометрию.

Можно ли обойтись без линейных угловых функций? Можно, ведь математики до сих пор без них обходятся. Хитрость математиков заключается в том, что они всегда рассказывают нам только о тех задачах, которые они сами умеют решать, и никогда не рассказывают о тех задачах, которые они решать не умеют. Смотрите. Если нам известен результат сложения и одно слагаемое, для поиска другого слагаемого мы используем вычитание. Всё. Других задач мы не знаем и решать не умеем. Что делать в том случае, если нам известен только результат сложения и не известны оба слагаемые? В этом случае результат сложения нужно разложить на два слагаемых при помощи линейных угловых функций. Дальше мы уже сами выбираем, каким может быть одно слагаемое, а линейные угловые функции показывают, каким должно быть второе слагаемое, чтобы результат сложения был именно таким, какой нам нужен. Таких пар слагаемых может быть бесконечное множество. В повседневной жизни мы прекрасно обходимся без разложения суммы, нам достаточно вычитания. А вот при научных исследованиях законов природы разложение суммы на слагаемые очень может пригодиться.

Ещё один закон сложения, о котором математики не любят говорить (ещё одна их хитрость), требует, чтобы слагаемые имели одинаковые единицы измерения. Для салата, воды и борща это могут быть единицы измерения веса, объема, стоимости или единицы измерения.

На рисунке показаны два уровня различий для математических . Первый уровень - это различия в области чисел, которые обозначены a , b , c . Это то, чем занимаются математики. Второй уровень - это различия в области единиц измерения, которые показаны в квадратных скобках и обозначены буквой U . Этим занимаются физики. Мы же можем понимать третий уровень - различия в области описываемых объектов. Разные объекты могут иметь одинаковое количество одинаковых единиц измерения. Насколько это важно, мы можем увидеть на примере тригонометрии борща. Если мы добавим нижние индексы к одинаковому обозначению единиц измерения разных объектов, мы сможем точно говорить, какая математическая величина описывает конкретный объект и как она изменяется с течением времени или в связи с нашими действиями. Буквой W я обозначу воду, буквой S обозначу салат и буквой B - борщ. Вот как будут выглядеть линейные угловые функции для борща.

Если мы возьмем какую-то часть воды и какую-то часть салата, вместе они превратятся в одну порцию борща. Здесь я предлагаю вам немного отвлечься от борща и вспомнить далекое детство. Помните, как нас учили складывать вместе зайчиков и уточек? Нужно было найти, сколько всего зверушек получится. Что же нас тогда учили делать? Нас учили отрывать единицы измерения от чисел и складывать числа. Да, одно любое число можно сложить с другим любым числом. Это прямой путь к аутизму современной математики - мы делаем непонятно что, непонятно зачем и очень плохо понимаем, как это относится к реальности, ведь из трех уровней различия математики оперируют только одним. Более правильно будет научиться переходить от одних единиц измерения к другим.

И зайчиков, и уточек, и зверушек можно посчитать в штуках. Одна общая единица измерения для разных объектов позволяет нам сложить их вместе. Это детский вариант задачи. Давайте посмотрим на похожую задачу для взрослых. Что получится, если сложить зайчиков и деньги? Здесь можно предложить два варианта решения.

Первый вариант . Определяем рыночную стоимость зайчиков и складываем её с имеющейся денежной суммой. Мы получили общую стоимость нашего богатства в денежном эквиваленте.

Второй вариант . Можно количество зайчиков сложить с количеством имеющихся у нас денежных купюр. Мы получим количество движимого имущества в штуках.

Как видите, один и тот же закон сложения позволяет получить разные результаты. Всё зависит от того, что именно мы хотим знать.

Но вернемся к нашему борщу. Теперь мы можем посмотреть, что будет происходить при разных значениях угла линейных угловых функций.

Угол равен нулю. У нас есть салат, но нет воды. Мы не можем приготовить борщ. Количество борща также равно нулю. Это совсем не значит, что ноль борща равен нулю воды. Ноль борща может быть и при нуле салата (прямой угол).

Лично для меня, это основное математическое доказательство того факта, что . Ноль не изменяет число при сложении. Это происходит потому, что само сложение невозможно, если есть только одно слагаемое и отсутствует второе слагаемое. Вы к этому можете относиться как угодно, но помните - все математические операции с нулем придумали сами математики, поэтому отбрасывайте свою логику и тупо зубрите определения, придуманные математиками: "деление на ноль невозможно", "любое число, умноженное на ноль, равняется нулю", "за выколом точки ноль" и прочий бред. Достаточно один раз запомнить, что ноль не является числом, и у вас уже никогда не возникнет вопрос, является ноль натуральным числом или нет, потому что такой вопрос вообще лишается всякого смысла: как можно считать числом то, что числом не является. Это всё равно, что спрашивать, к какому цвету отнести невидимый цвет. Прибавлять ноль к числу - это то же самое, что красить краской, которой нет. Сухой кисточкой помахали и говорим всем, что " мы покрасили". Но я немного отвлекся.

Угол больше нуля, но меньше сорока пяти градусов. У нас много салата, но мало воды. В результате мы получим густой борщ.

Угол равен сорок пять градусов. Мы имеем в равных количествах воду и салат. Это идеальный борщ (да простят меня повара, это просто математика).

Угол больше сорока пяти градусов, но меньше девяноста градусов. У нас много воды и мало салата. Получится жидкий борщ.

Прямой угол. У нас есть вода. От салата остались только воспоминания, поскольку угол мы продолжаем измерять от линии, которая когда-то обозначала салат. Мы не можем приготовить борщ. Количество борща равно нулю. В таком случае, держитесь и пейте воду, пока она есть)))

Вот. Как-то так. Я могу здесь рассказать и другие истории, которые будут здесь более чем уместны.

Два друга имели свои доли в общем бизнесе. После убийства одного из них, всё досталось другому.

Появление математики на нашей планете.

Все эти истории на языке математики рассказаны при помощи линейных угловых функций. Как-нибудь в другой раз я покажу вам реальное место этих функций в структуре математики. А пока, вернемся к тригонометрии борща и рассмотрим проекции.

суббота, 26 октября 2019 г.

среда, 7 августа 2019 г.

Завершая разговор о , нужно рассмотреть бесконечное множество. Дало в том, что понятие "бесконечность" действует на математиков, как удав на кролика. Трепетный ужас перед бесконечностью лишает математиков здравого смысла. Вот пример:

Первоисточник находится . Альфа обозначает действительное число. Знак равенства в приведенных выражениях свидетельствует о том, что если к бесконечности прибавить число или бесконечность, ничего не изменится, в результате получится такая же бесконечность. Если в качестве примера взять бесконечное множество натуральных чисел, то рассмотренные примеры можно представить в таком виде:

Для наглядного доказательства своей правоты математики придумали много разных методов . Лично я смотрю на все эти методы, как на пляски шаманов с бубнами. По существу, все они сводятся к тому, что либо часть номеров не занята и в них заселяются новые гости, либо к тому, что часть посетителей вышвыривают в коридор, чтобы освободить место для гостей (очень даже по-человечески). Свой взгляд на подобные решения я изложил в форме фантастического рассказа о Блондинке. На чем основываются мои рассуждения? Переселение бесконечного количества посетителей требует бесконечно много времени. После того, как мы освободили первую комнату для гостя, один из посетителей всегда будет идти по коридору из своего номера в соседний до скончания века. Конечно, фактор времени можно тупо игнорировать, но это уже будет из разряда "дуракам закон не писан". Всё зависит от того, чем мы занимаемся: подгоняем реальность под математические теории или наоборот.

Что же такое "бесконечная гостиница"? Бесконечная гостиница - это гостиница, в которой всегда есть любое количество свободных мест, независимо от того, сколько номеров занято. Если все номера в бесконечном коридоре "для посетителей" заняты, есть другой бесконечный коридор с номерами "для гостей". Таких коридоров будет бесконечное множество. При этом у "бесконечной гостиницы" бесконечное количество этажей в бесконечном количестве корпусов на бесконечном количестве планет в бесконечном количестве вселенных, созданных бесконечным количеством Богов. Математики же не способны отстраниться от банальных бытовых проблем: Бог-Аллах-Будда - всегда только один, гостиница - она одна, коридор - только один. Вот математики и пытаются подтасовывать порядковые номера гостиничных номеров, убеждая нас в том, что можно "впихнуть невпихуемое".

Логику своих рассуждений я вам продемонстрирую на примере бесконечного множества натуральных чисел. Для начала нужно ответить на очень простой вопрос: сколько множеств натуральных чисел существует - одно или много? Правильного ответа на это вопрос не существует, поскольку числа придумали мы сами, в Природе чисел не существует. Да, Природа отлично умеет считать, но для этого она использует другие математические инструменты, не привычные для нас. Как Природа считает, я вам расскажу в другой раз. Поскольку числа придумали мы, то мы сами будем решать, сколько множеств натуральных чисел существует. Рассмотрим оба варианта, как и подобает настоящим ученым.

Вариант первый. "Пусть нам дано" одно-единственное множество натуральных чисел, которое безмятежно лежит на полочке. Берем с полочки это множество. Всё, других натуральных чисел на полочке не осталось и взять их негде. Мы не можем к этому множеству прибавить единицу, поскольку она у нас уже есть. А если очень хочется? Без проблем. Мы можем взять единицу из уже взятого нами множества и вернуть её на полочку. После этого мы можем взять с полочки единицу и прибавить её к тому, что у нас осталось. В результате мы снова получим бесконечное множество натуральных чисел. Записать все наши манипуляции можно так:

Я записал действия в алгебраической системе обозначений и в системе обозначений, принятой в теории множеств, с детальным перечислением элементов множества. Нижний индекс указывает на то, что множество натуральных чисел у нас одно и единственное. Получается, что множество натуральных чисел останется неизменным только в том случае, если из него вычесть единицу и прибавить эту же единицу.

Вариант второй. У нас на полочке лежит много разных бесконечных множеств натуральных чисел. Подчеркиваю - РАЗНЫХ, не смотря на то, что они практически не отличимы. Берем одно из этих множеств. Потом из другого множества натуральных чисел берем единицу и прибавляем к уже взятому нами множеству. Мы можем даже сложить два множества натуральных чисел. Вот что у нас получится:

Нижние индексы "один" и "два" указывают на то, что эти элементы принадлежали разным множествам. Да, если к бесконечному множеству прибавить единицу, в результате получится тоже бесконечное множество, но оно не будет таким же, как первоначальное множество. Если к одному бесконечному множеству прибавить другое бесконечное множество, в результате получится новое бесконечное множество, состоящее из элементов первых двух множеств.

Множество натуральных чисел используется для счета так же, как линейка для измерений. Теперь представьте, что к линейке вы добавили один сантиметр. Это уже будет другая линейка, не равная первоначальной.

Вы можете принимать или не принимать мои рассуждения - это ваше личное дело. Но если когда-то вы столкнетесь с математическими проблемами, задумайтесь, не идете ли вы по тропе ложных рассуждений, протоптанной поколениями математиков. Ведь занятия математикой, прежде всего, формируют у нас устойчивый стереотип мышления, а уже потом добавляют нам умственных способностей (или наоборот, лишают нас свободомыслия).

pozg.ru

воскресенье, 4 августа 2019 г.

Дописывал постскриптум к статье о и увидел в Википедии этот замечательный текст:

Читаем: "... богатая теоретическая основа математики Вавилона не имела целостного характера и сводилась к набору разрозненных приемов, лишенных общей системы и доказательной базы."

Вау! Какие мы умные и как хорошо можем видеть недостатки других. А слабо нам посмотреть на современную математику в таком же разрезе? Слегка перефразируя приведенный текст, лично у меня получилось следующее:

Богатая теоретическая основа современной математики не имеет целостного характера и сводится к набору разрозненных разделов, лишенных общей системы и доказательной базы.

За подтверждением своих слов я далеко ходить не буду - имеет язык и условные обозначения, отличные от языка и условных обозначений многих других разделов математики. Одни и те же названия в разных разделах математики могут иметь разный смысл. Наиболее очевидным ляпам современной математики я хочу посвятить целый цикл публикаций. До скорой встречи.

суббота, 3 августа 2019 г.

Как разделить множество на подмножества? Для этого необходимо ввести новую единицу измерения, присутствующую у части элементов выбранного множества. Рассмотрим пример.

Пусть у нас есть множество А , состоящее из четырех человек. Сформировано это множество по признаку "люди" Обозначим элементы этого множества через букву а , нижний индекс с цифрой будет указывать на порядковый номер каждого человека в этом множестве. Введем новую единицу измерения "половой признак" и обозначим её буквой b . Поскольку половые признаки присущи всем людям, умножаем каждый элемент множества А на половой признак b . Обратите внимание, что теперь наше множество "люди" превратилось в множество "люди с половыми признаками". После этого мы можем разделить половые признаки на мужские bm и женские bw половые признаки. Вот теперь мы можем применить математический фильтр: выбираем один из этих половых признаков, безразлично какой - мужской или женский. Если он присутствует у человека, тогда умножаем его на единицу, если такого признака нет - умножаем его на ноль. А дальше применяем обычную школьную математику. Смотрите, что получилось.

После умножения, сокращений и перегруппировок, мы получили два подмножества: подмножество мужчин Bm и подмножество женщин Bw . Приблизительно так же рассуждают математики, когда применяют теорию множеств на практике. Но в детали они нас не посвящают, а выдают готовый результат - "множество людей состоит из подмножества мужчин и подмножества женщин". Естественно, у вас может возникнуть вопрос, насколько правильно применена математика в изложенных выше преобразованиях? Смею вас заверить, по сути преобразований сделано всё правильно, достаточно знать математическое обоснование арифметики, булевой алгебры и других разделов математики. Что это такое? Как-нибудь в другой раз я вам об этом расскажу.

Что касается надмножеств, то объединить два множества в одно надмножество можно, подобрав единицу измерения, присутствующую у элементов этих двух множеств.

Как видите, единицы измерения и обычная математика превращают теорию множеств в пережиток прошлого. Признаком того, что с теорией множеств не всё в порядке, является то, что для теории множеств математики придумали собственный язык и собственные обозначения. Математики поступили так, как когда-то поступали шаманы. Только шаманы знают, как "правильно" применять их "знания". Этим "знаниям" они обучают нас.

В заключение, я хочу показать вам, как математики манипулируют с .

понедельник, 7 января 2019 г.

В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория "Ахиллес и черепаха". Вот как она звучит:

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что "... дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось... к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса... " [Википедия, " Апории Зенона "]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие "бесконечность" в этой ситуации, то правильно будет говорить "Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху".

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию "Ахиллес и черепаха" очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто - достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве - это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.
Покажу процесс на примере. Отбираем "красное твердое в пупырышку" - это наше "целое". При этом мы видим, что эти штучки есть с бантиком, а есть без бантика. После этого мы отбираем часть "целого" и формируем множество "с бантиком". Вот так шаманы добывают себе корм, привязывая свою теорию множеств к реальности.

А теперь сделаем маленькую пакость. Возьмем "твердое в пупырышку с бантиком" и объединим эти "целые" по цветовому признаку, отобрав красные элементы. Мы получили множество "красное". Теперь вопрос на засыпку: полученные множества "с бантиком" и "красное" - это одно и то же множество или два разных множества? Ответ знают только шаманы. Точнее, сами они ничего не знают, но как скажут, так и будет.

Этот простой пример показывает, что теория множеств совершенно бесполезна, когда речь заходит о реальности. В чем секрет? Мы сформировали множество "красное твердое в пупырышку с бантиком". Формирование происходило по четырем разным единицам измерения: цвет (красное), прочность (твердое), шероховатость (в пупырышку), украшения (с бантиком). Только совокупность единиц измерения позволяет адекватно описывать реальные объекты на языке математики . Вот как это выглядит.

Буква "а" с разными индексами обозначает разные единицы измерения. В скобках выделены единицы измерения, по которым выделяется "целое" на предварительном этапе. За скобки вынесена единица измерения, по которой формируется множество. Последняя строчка показывает окончательный результат - элемент множества. Как видите, если применять единицы измерения для формирования множества, тогда результат не зависит от порядка наших действий. А это уже математика, а не пляски шаманов с бубнами. Шаманы могут "интуитивно" придти к такому же результату, аргументируя его "очевидностью", ведь единицы измерения не входят в их "научный" арсенал.

При помощи единиц измерения очень легко разбить одно или объединить несколько множеств в одно надмножество. Давайте более внимательно рассмотрим алгебру этого процесса.