Примитивные пифагоровы тройки. Современные наукоемкие технологии. Пифагоровы тройки в тригонометрии

Важный пример диофантова уравнения дает теорема Пифагора, связывающая длины x и y катетов прямоугольного треугольника с длиной z его гипотенузы:

Вы, конечно, встречали одно из замечательных решений этого уравнения в натуральных числах, а именно пифагорову тройку чисел x = 3, y = 4, z = 5. Есть ли еще такие тройки?

Оказывается пифагоровых троек бесконечно много и все они давным-давно найдены. Они могут быть получены по известным формулам, о которых вы узнаете из настоящего параграфа.

Если диофантовы уравнения первой и второй степени уже решены, то вопрос о решении уравнений более высоких степеней до сих пор остается открытым, несмотря на усилия крупнейших математиков. В настоящее время, например, еще окончательно не доказана и не опровергнута знаменитая гипотеза Ферма о том, что при любом целом значении n&362;2 уравнение

в целых числах не имеет решений.

Для решения некоторых типов диофантовых уравнений полезную роль могут сыграть так называемые комплексные числа. Что это такое? Пусть буквой i обозначен некий объект, удовлетворяющий условию i 2 = -1 (понятно, что ни одно действительное число этому условию не удовлетворяет). Рассмотрим выражения вида α + iβ, где α и β - действительные числа. Такие выражения будем называть комплексными числами, определив над ними операции сложения и умножения, как и над двучленами, но с той лишь разницей, что выражение i 2 всюду будем заменять числом -1:

7.1. Из одной тройки много

Докажите, что если x 0 , y 0 , z 0 - пифагорова тройка, то тройки y 0 , x 0 , z 0 и x 0 k, y 0 k, z 0 k при любом значении натурального параметра k также являются пифагоровыми.

7.2. Частные формулы

Проверьте, что при любых натуральных значениях m>n тройка вида

является пифагоровой. Всякую ли пифагорову тройку x, y, z можно представить в таком виде, если разрешить переставлять местами числа x и y в тройке?

7.3. Несократимые тройки

Пифагорову тройку чисел, не имеющих общего делителя, большего 1, будем называть несократимой. Докажите, что пифагорова тройка является несократимой только в случае, если любые два из чисел тройки являются взаимно простыми.

7.4. Свойство несократимых троек

Докажите, что в любой несократимой пифагоровой тройке x, y, z число z и ровно одно из чисел x или y являются нечетными.

7.5. Все несократимые тройки

Докажите, что тройка чисел x, y, z является несократимой пифагоровой тройкой тогда и только тогда, когда она с точностью до порядка первых двух чисел совпадает с тройкой 2mn, m 2 - n 2 , m 2 + n 2 , где m>n - взаимно простые натуральные числа разной четности.

7.6. Общие формулы

Докажите, что все решения уравнения

в натуральных числах задаются с точностью до порядка неизвестных x и y формулами

где m>n и k - натуральные параметры (чтобы исключить дублирование каких-либо троек, достаточно выбирать числа тип взаимно простыми и к тому же разной четности).

7.7. Первые 10 троек

Найдите все пифагоровы тройки x, y, z, удовлетворяющие условию x

7.8. Свойства пифагоровых троек

Докажите, что для любой пифагоровой тройки x, y, z справедливы утверждения:

а) хотя бы одно из чисел x или y кратно 3;

б) хотя бы одно из чисел x или y кратно 4;

в) хотя бы одно из чисел x, y или z кратно 5.

7.9. Применение комплексных чисел

Модулем комплексного числа α + iβ называется неотрицательное число

Проверьте, что для любых комплексных чисел α + iβ и γ + iδ выполняется свойство

Пользуясь свойствами комплексных чисел и их модулей, докажите, что любые два целых числа m и n удовлетворяют равенству

т. е. задают решение уравнения

целых числах (сравните с задачей 7.5).

7.10. Непифагоровы тройки

Пользуясь свойствами комплексных чисел и их модулей (см. задачу 7.9), найдите формулы для каких-либо целочисленных решений уравнения:

а) x 2 + y 2 = z 3 ; б) x 2 + y 2 = z 4 .

Решения

7.1. Если x 0 2 + y 0 2 = z 0 2 , то y 0 2 + x 0 2 = z 0 2 , и при любом натуральном значении k имеем

что и требовалось доказать.

7.2. Из равенств

заключаем, что указанная в задаче тройка удовлетворяет уравнению x 2 + y 2 = z 2 в натуральных числах. Однако не всякую пифагорову тройку x, y, z можно представить в таком виде; например, тройка 9, 12, 15 является пифагоровой, но число 15 не представимо в виде суммы квадратов каких-либо двух натуральных чисел m и n.

7.3. Если какие-то два числа из пифагоровой тройки x, y, z имеют общий делитель d, то он будет делителем и третьего числа (так, в случае x = x 1 d, y = y 1 d имеем z 2 = x 2 + y 2 = (x 1 2 + y 1 2)d 2 , откуда z 2 делится на d 2 и z делится на d). Поэтому для несократимости пифагоровой тройки необходимо, чтобы любые два из чисел тройки были взаимно простыми,

7.4. Заметим, что одно из чисел x или y, скажем x, несократимой пифагоровой тройки x, y, z является нечетным, так как в противном случае числа x и y не были бы взаимно простыми (см. задачу 7.3). Если при этом другое число y также нечетно, то оба числа

дают остаток 1 при делении на 4, а число z 2 = x 2 + y 2 дает при делении на 4 остаток 2, т. е. оно делится на 2, но не делится на 4, чего не может быть. Таким образом, число y должно быть четным, а число z, стало быть, нечетным.

7.5. Пусть пифагорова тройка x, y, z несократима и, для определенности, число x четно, а числа y, z нечетны (см. задачу 7.4). Тогда

где числа являются целыми. Докажем, что числа а и b взаимно просты. В самом деле, если бы они имели общий делитель, больший 1, то такой же делитель имели бы и числа z = a + b, y = a - b, т. е. тройка не была бы несократимой (см. задачу 7.3). Теперь, раскладывая числа а и b в произведения простых множителей, замечаем, что любой простой множитель должен входить в произведение 4ab = x 2 только в четной степени, причем если он входит в разложение числа а, то не входит в разложение числа b и наоборот. Поэтому любой простой множитель входит в разложение числа а или b в отдельности только в четной степени, а, значит, сами эти числа являются квадратами целых чисел. Положим тогда получим равенства

причем натуральные параметры m>n взаимно просты (вследствие взаимной простоты чисел а и b) и имеют разную четность (из-за нечетности числа z = m 2 + n 2 ).

Пусть теперь натуральные числа m>n разной четности являются взаимно простыми. Тогда тройка х = 2mn, y = m 2 - n 2 , z = m 2 + n 2 , согласно утверждению задачи 7.2, является пифагоровой. Докажем, что она несократима. Для этого достаточно проверить, что числа y и z не имеют общих делителей (см. задачу 7.3). В самом деле, оба эти числа нечетны, так как числа тип имеют разную четность. Если же числа y и z имеют какой-либо простой общий делитель (тогда уж обязательно нечетный), то такой же делитель имеет и каждое из чисел и а с ними и каждое из чисел m и n, что противоречит их взаимной простоте.

7.6. В силу утверждений, сформулированных в задачах 7.1, 7.2, указанные формулы задают только пифагоровы тройки. С другой стороны, любая пифагорова тройка x, y, z после ее сокращения на наибольший общий делитель k пары чисел x и y становится несократимой (см. задачу 7.3) и, следовательно, может быть представлена с точностью до порядка чисел x и y в виде, описанном в задаче 7.5. Поэтому любая пифагорова тройка задается указанными формулами при некоторых значениях параметров.

7.7. Из неравенства z и формул задачи 7.6 получаем оценку m 2 т. е. m≤5 . Полагая m = 2, n = 1 и k = 1, 2, 3, 4, 5, получаем тройки 3, 4, 5; 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12,16,20; 15, 20, 25. Полагая m = 3, n = 2 и k = 1, 2, получаем тройки 5, 12, 13; 10, 24, 26. Полагая m = 4, n = 1, 3 и k = 1, получаем тройки 8, 15, 17; 7, 24, 25. Наконец, полагая m = 5, n = 2 и k = 1, получаем тройку 20, 21, 29.

Дальше рассмотрим известные способы генерации эффективных пифагоровых троек. Ученики Пифагора были первыми, кто изобрели простой способ генерации пифагоровых троек, используя формулу, части которой представляют пифагорову тройку:

m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ((m 2 + 1)/2) 2 ,

Где m — непарное, m >2. Действительно,

4m 2 + m 4 − 2m 2 + 1
m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((m 2 + 1)/2) 2 .
4

Аналогичную формулу предложил древнегреческий философ Платон:

(2m ) 2 + (m 2 − 1) 2 = (m 2 + 1) 2 ,

Где m — любое число. Для m = 2,3,4,5 генерируются следующие тройки:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Как видим, эти формулы не могут дать все возможные примитивные тройки.

Россмотрим следующий полином, который разкладывается на суму полиномов:

(2m 2 + 2m + 1) 2 = 4m 4 + 8m 3 + 8m 2 + 4m + 1 =
=4m 4 + 8m 3 + 4m 2 + 4m 2 + 4m + 1 = (2m (m +1)) 2 + (2m +1) 2 .

Отсюда следующие формулы для получения примитивных троек:

a = 2m +1 , b = 2m (m +1) = 2m 2 + 2m , c = 2m 2 + 2m + 1.

Эти формулы генерируют тройки, в которых среднее число отличается от наибольшего ровно на единицу, то есть также генерируются не все возможные тройки. Тут первые тройки равняются: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

Чтобы определить способ генерации всех примитивных троек, следует исследовать ихние свойства. Во-первых, если (a,b,c ) — примитивная тройка, то a и b , b и c , а и c — должны быть взаимно простыми. Пусть a и b делятся на d . Тогда a 2 + b 2 — также делится на d . Соответственно, c 2 и c должны делиться на d . То есть, это не есть примитивная тройка.

Во-вторых, среди чисел a , b одно должно быть парным, а другое — непарным. Действительно, если a и b — парные, то и с будет парным, и числа можно поделить по крайней мере на 2. Если они оба непарные, то их можно представить как 2k +1 i 2l +1, где k ,l — некоторые числа. Тогда a 2 + b 2 = 4k 2 +4k +1+4l 2 +4l +1, то есть, с 2 , как и a 2 + b 2 , при делении на 4 имеет остаток 2.

Пусть с — любое число, то есть с = 4k +i (i =0,…,3). Тогда с 2 = (4k +i ) 2 имеет остаток 0 или 1 и не может иметь остаток 2. Таким образом, a и b не могут быть непарными, то есть a 2 + b 2 = 4k 2 +4k +4l 2 +4l +1 и остаток от деления с 2 на 4 должен быть 1, что значит, что с должно быть непарным.

Такие требования к элементам пифагоровой тройки удовлетворяют следующие числа:

a = 2mn , b = m 2 − n 2 , c = m 2 + n 2 , m > n , (2)

Где m и n — взаимно простые с разной парностью. Впервые эти зависимости стали известными из трудов Эвклида, который жил 2300 р. назад.

Докажем справедливость зависимостей (2). Пусть а — парное, тогда b и c — непарные. Тогда c + b i c − b — парные. Их можно представить как c + b = 2u и c − b = 2v , где u ,v — некоторые целые числа. Поэтому

a 2 = с 2 − b 2 = (c + b )(c − b ) = 2u ·2v = 4uv

И поэтому (a /2) 2 = uv .

Можно доказать от противного, что u и v — взаимно простые. Пусть u и v — делятся на d . Тогда (c + b ) и (c − b ) делятся на d . И поэтому c и b должны делиться на d , а это противоречит условию к пифагоровой тройке.

Так как uv = (a /2) 2 и u и v — взаимно простые, то несложно доказать, что u и v должны быть квадратами каких-то чисел.

Таким образом, есть положительные целые числа m и n , такие что u = m 2 и v = n 2 . Тогда

а 2 = 4uv = 4m 2 n 2 , так что
а = 2mn ; b = u − v = m 2 − n 2 ; c = u + v = m 2 + n 2 .

Так как b > 0, то m > n .

Осталось показать, что m и n имеют разную парность. Если m и n — парные, то u и v должны быть парными, а это невозможно, так как они взаимно простые. Если m и n — непарные, то b = m 2 − n 2 и c = m 2 + n 2 были бы парными, что невозможно, так как c и b — взаимно простые.

Таким образом, любая примитивная пифагорова тройка должна удовлетворять условия (2). При этом числа m и n называются генерирующими числами примитивных троек. Например, пусть имеем примитивную пифагорову тройку (120,119,169). В этом случае

а = 120 = 2·12·5, b = 119 = 144 − 25, и c = 144+25=169,

Где m = 12, n = 5 — генерирующие числа, 12 > 5; 12 и 5 — взаимно простые и разной парности.

Можно доказать обратное, что числа m , n по формулам (2) дают примитивную пифагорову тройку (a,b,c). Действительно,

а 2 + b 2 = (2mn ) 2 + (m 2 − n 2) 2 = 4m 2 n 2 + (m 4 − 2m 2 n 2 + n 4) =
= (m 4 + 2m 2 n 2 + n 4) = (m 2 + n 2) 2 = c 2 ,

То есть (a ,b ,c ) — пифагорова тройка. Докажем, что при этом a ,b ,c — взаимно простые числа от противного. Пусть эти числа делятся на p > 1. Так как m и n имеют разную парность, то b и c — непарные, то есть p ≠ 2. Так как р делит b и c , то р должно делить 2m 2 и 2n 2 , а это невозможно, так как p ≠ 2. Поэтому m , n — взаимно простые и a ,b ,c — тоже взаимно простые.

В таблице 1 показаны все примитивные пифагоровы тройки, сгенерированые по формулам (2) для m ≤10.

Таблица 1. Примитивные пифагоровы тройки для m ≤10

Анализ этой таблицы показывает наличие следующего ряда закономерностей:

• или a , или b делятся на 3;
• одно из чисел a ,b ,c делится на 5;
• число а делится на 4;
• произведение a ·b делится на 12.

В 1971 г. американские математики Тейган и Хедвин для генерации троек предложили такие малоизвестные параметры прямоугольного треугольника, как его рост (height) h = c − b и избыток (success) е = a + b − c . На рис.1. показаны эти величины на некотором прямоугольном треугольнике.

Рисунок 1. Прямоугольный треугольник и его рост и избыток

Название “избыток” является производным от того, что это добавочное расстояние, которое необходимо пройти по катетам треугольника из одной вершины в противоположную, если не идти по его диагонали.

Через избыток и рост стороны пифагорового треугольника можно выразить как:

e 2 e 2
a = h + e , b = e + ——, c = h + e + ——, (3)
2h 2h

Не все комбинации h и e могут отвечать пифагоровым треугольникам. Для заданого h возможные значения e — это произведения некоторого числа d . Это число d имеет название прироста и относится к h следующим образом: d — это наименьшее положительное целое число, квадрат которого делится на 2h . Так как e кратное d , то оно записывается как e = kd , где k — положительное целое.

С помощью пар (k ,h ) можно сгенерировать все пифагоровы треугольники, включая непримитивные и обобщенные, следующим образом:

(dk ) 2 (dk ) 2
a = h + dk , b = dk + ——, c = h + dk + ——, (4)
2h 2h

Причем тройка является примитивной, если k и h — взаимно простые и если h =±q 2 при q — непарном.
Кроме того, это будет именно пифагорова тройка, если k > √2·h /d и h > 0.

Чтобы найти k и h из (a ,b ,c ), выполняют следующие действия:

• h = c − b ;
• записывают h как h = pq 2 , где p > 0 и такое, что не является квадратом;
• d = 2pq если p — непарное и d = pq , если p — парное;
• k = (a − h )/d .

Например, для тройки (8,15,17) имеем h = 17−15 = 2·1, так что p = 2 и q = 1, d = 2, и k = (8 − 2)/2 = 3. Так что эта тройка задается как (k ,h ) = (3,2).

Для тройки (459,1260,1341) имеем h = 1341 − 1260 = 81, так что p = 1, q = 9 и d = 18, отсюда k = (459 − 81)/18 = 21, так что код этой тройки равняется (k ,h ) = (21, 81).

Задание троек с помощью h и k имеет ряд интересных свойств. Параметр k равняется

k = 4S /(dP ), (5)

Где S = ab /2 — площадь треугольника, а P = a + b + c — его периметр. Это следует из равенства eP = 4S , которое выходит из теоремы Пифагора.

Для прямоугольного треугольника e равняется диаметру вписаной в треугольник окружности. Это выходит из того, что гипотенуза с = (а − r )+(b − r ) = a + b − 2r , где r — радиус окружности. Отсюда h = c − b = а − 2r и е = a − h = 2r .

Для h > 0 и k > 0, k является порядковым номером троек a -b -c в последовательности пифагоровых треугольников с ростом h . Из таблицы 2, где представлено несколько вариантов троек, сгенерированых парами h , k , видно, что с увеличением k возрастают величины сторон треугольника. Таким образом, в отличии от классической нумерации, нумерация парами h , k имеет больший порядок в последовательностях троек.

Таблица 2. Пифагоровы тройки, сгенерированые парами h, k.

Для h > 0, d удовлетворяет неравенство 2√h ≤ d ≤ 2h , в котором нижняя граница достигается при p = 1, а верхняя — при q = 1. Поэтому значение d относительно 2√h — это мера того, насколько число h отдаленное от квадрата некоторого числа.

Свойства

Поскольку уравнение x 2 + y 2 = z 2 однородно , при домножении x , y и z на одно и то же число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется примитивной , если она не может быть получена таким способом, то есть - взаимно простые числа .

Примеры

Некоторые пифагоровы тройки (отсортированы по возрастанию максимального числа, выделены примитивные):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Основываясь на свойствах чисел Фибоначчи , можно составить из них, например, такие пифагоровы тройки:

История

Пифагоровы тройки известны очень давно. В архитектуре древнемесопотамских надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей. Пирамиды фараона Снофру (XXVII век до н. э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей.

См. также

Ссылки

• Е. А. Горин Степени простых чисел в составе пифагоровых троек // Математическое просвещение . - 2008. - В. 12. - С. 105-125.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Пифагоровы числа" в других словарях:

Тройки таких натуральных чисел, что треугольник, длины сторон которого пропорциональны (или равны) этим числам, является прямоугольным, напр. тройка чисел: 3, 4, 5 … Большой Энциклопедический словарь

Тройки таких натуральных чисел, что треугольник, длины сторон которого пропорциональны (или равны) этим числам, является прямоугольным, например тройка чисел: 3, 4, 5. * * * ПИФАГОРОВЫ ЧИСЛА ПИФАГОРОВЫ ЧИСЛА, тройки таких натуральных чисел, что… … Энциклопедический словарь

Тройки натуральных чисел таких, что треугольник, длины сторон которого пропорциональны (или равны) этим числам, является прямоугольным. По теореме, обратной теореме Пифагора (см. Пифагора теорема), для этого достаточно, чтобы они… …

Тройки целых положительных чисел х, у,z, удовлетворяющих уравнению x2+у 2=z2. Все решения этого уравнения, а следовательно, и все П. ч. выражаются формулами х=а 2 b2, y=2ab, z=a2+b2, где а, b произвольные целые положительные числа (а>b). П. ч … Математическая энциклопедия

Тройки таких натуральных чисел, что треугольник, длины сторон к рого пропорциональны (или равны) этим числам, является прямоугольным, напр. тройка чисел: 3, 4, 5 … Естествознание. Энциклопедический словарь

В математике пифагоровыми числами (пифагоровой тройкой) называется кортеж из трёх целых чисел удовлетворяющих соотношению Пифагора: x2 + y2 = z2. Содержание 1 Свойства 2 Примеры … Википедия

Фигурные числа общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой. Это историческое понятие восходит к пифагорейцам. Предположительно от фигурных чисел возникло выражение: «Возвести число в квадрат или в куб». Содержание… … Википедия

Фигурные числа общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой. Это историческое понятие восходит к пифагорейцам. Различают следующие виды фигурных чисел: Линейные числа числа, не разлагающиеся на сомножители, то есть их… … Википедия

- «Парадокс числа пи» шутка на тему математики, имевшая хождение в среде студентов до 80 х годов (фактически, до массового распространения микрокалькуляторов) и была связана с ограниченной точностью вычислений тригонометрических функций и… … Википедия

- (греч. arithmetika, от arithmys число) наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними. Владение достаточно развитым понятием натурального числа и умение… … Большая советская энциклопедия

Книги

• Архимедово лето, или История содружества юных математиков. Двоичная система счисления , Бобров Сергей Павлович. Двоичная система счисления, "Ханойская башня", ход коня, магические квадраты, арифметический треугольник, фигурные числа, сочетания, понятие о вероятностях, лента Мёбиуса и бутылка Клейна.…

«Областной центр образования»

Методическая разработка

Использование пифагоровых троек при решении

геометрических задач и тригонометрических заданий ЕГЭ

г. Калуга, 2016

I. Введение

Теорема Пифагора – одна из главных и, можно даже сказать, самая главная теорема геометрии. Значение её состоит в том, что из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема Пифагора замечательна ещё и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни гляди на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть такое простое соотношение: a2+ b2= c2 . Однако не Пифагор открыл теорему, носящую его имя. Она была известна еще раньше, но, возможно, только как факт, выведенный из измерений. Надо думать, Пифагор знал это, но нашел доказательство.

Существует бесчисленное множество натуральных чисел a, b, c , удовлетворяющих соотношению a2+ b2= c2 .. Они называются пифагоровыми числами. Согласно теореме Пифагора такие числа могут служить длинами сторон некоторого прямоугольного треугольника – будем называть их пифагоровыми треугольниками.

Цель работы: изучить возможность и эффективность применения пифагоровых троек для решения задач школьного курса математики, заданий ЕГЭ.

Исходя из цели работы, поставлены следующие задачи :

Изучить историю и классификацию пифагоровых троек. Проанализировать задачи с применением пифагоровых троек, имеющиеся в школьных учебниках и встречающиеся в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ. Оценить эффективность применения пифагоровых троек и их свойств для решения задач.

Объект исследования : пифагоровы тройки чисел.

Предмет исследования : задачи школьного курса тригонометрии и геометрии, в которых используются пифагоровы тройки.

Актуальность исследования . Пифагоровы тройки часто используются в геометрии и тригонометрии, знание их избавит от ошибок в вычислениях и экономит время.

II. Основная часть. Решение задач с помощью пифагоровых троек.

2.1.Таблица троек пифагоровых чисел (по Перельману)

Пифагоровы числа имеют вид a = m·n , , где m и n – некоторые взаимно простые нечетные числа.

Пифагоровы числа обладают рядом любопытных особенностей:

Один из «катетов» должен быть кратным трем.

Один из «катетов» должен быть кратным четырем.

Одно из пифагоровых чисел должно быть кратным пяти.

В книге «Занимательная алгебра» приводится таблица пифагоровых троек, содержащих числа до ста, не имеющих общих множителей.

2.2. Классификация пифагоровых троек по Шустрову.

Шустровым была обнаружена такая закономерность: если все пифагоровы треугольники распределить по группам, то для нечетного катета x, четного y и гипотенузы z справедливы следующие формулы:

х = (2N-1)·(2n+2N-1); y = 2n·(n+2N-1); z = 2n·(n+2N-1)+(2N-1) 2, где N – номер семейства и n – порядковый номер треугольника в семействе.

Подставляя в формулу в место N и n любые целые положительные числа, начиная с единицы, можно получить, все основные пифагоровы тройки чисел, а также кратные определенного вида. Можно составить таблицу всех пифагоровых троек по каждому семейству.

2.3. Задачи по планиметрии

Рассмотрим задачи из различных учебников по геометрии и выясним, насколько часто встречаются пифагоровы тройки в этих заданиях. Тривиальные задачи на нахождение третьего элемента по таблице пифагоровых троек рассматривать не будем, хотя они тоже встречаются в учебниках. Покажем, как свести решение задачи, данные которой не выражены натуральными числами, к пифагоровым тройкам.

Рассмотрим задачи из учебника по геометрии для 7-9 класса .

№ 000. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника по катетам а =, b =.

Решение. Умножим длины катетов на 7, получим два элемента из пифагоровой тройки 3 и 4. Недостающий элемент 5, который делим на 7. Ответ .

№ 000. В прямоугольнике ABCD найдите BC, если CD=1,5, AC=2,5.

https://pandia.ru/text/80/406/images/image007_0.gif" width="240" height="139 src=">

Решение. Решим прямоугольный треугольник АСD. Умножим длины на 2, получим два элемента из пифагоровой тройки 3 и 5, Недостающий элемент 4, который делим на 2. Ответ: 2.

При решении следующего номера проверять соотношение a2+ b2= c2 совершенно необязательно, достаточно воспользоваться пифагоровыми числами и их свойствами.

№ 000. Выясните, является ли треугольник прямоугольным, если его стороны выражаются числами:

а) 6,8,10 (пифагорова тройка 3,4.5) – да;

Один из катетов прямоугольного треугольника должен делиться на 4. Ответ: нет.

в) 9,12,15 (пифагорова тройка 3,4.5) – да;

г) 10,24,26 (пифагорова тройка 5,12.13) – да;

Одно из пифагоровых чисел должно быть кратным пяти. Ответ: нет.

ж) 15, 20, 25 (пифагорова тройка 3,4.5) – да.

Из тридцати девяти заданий данного параграфа (теорема Пифагора) двадцать два решаются устно с помощью пифагоровых чисел и знания их свойств.

Рассмотрим задачу № 000 (из раздела «Дополнительные задачи»):

Найдите площадь четырехугольника ABCD, в котором АВ=5 см, ВС=13 см, CD=9 см, DА=15 см, АС=12 см.

В задаче надо проверить соотношение a2+ b2= c2 и доказать, что данный четырехугольник состоит из двух прямоугольных треугольников (обратная теорема). А знание пифагоровых троек: 3, 4, 5 и 5, 12, 13, избавляет от вычислений.

Приведем решения нескольких задач из учебника по геометрии для 7-9 класса .

Задача 156 (з). Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 40. Найдите медиану, проведенную к гипотенузе.

Решение. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. Пифагорова тройка 9,40 и 41. Следовательно, медиана равна 20,5.

Задача 156 (и). Боковые стороны треугольника равны: а = 13 см, b = 20 см, а высота hс = 12 см. Найдите основание с.

Задача (КИМы ЕГЭ). Найдите радиус окружности, вписанной в остроугольный треугольник АВС, если высота ВH равна12 и известно, что sin А=, sin С=left">

Решение. Решаем прямоугольный ∆ АСК: sin А=, ВH=12 , отсюда АВ=13,АК=5 (Пифагорова тройка 5,12,13). Решаем прямоугольный ∆ ВСH: ВH =12, sin С===https://pandia.ru/text/80/406/images/image015_0.gif" width="12" height="13">3=9 (Пифагорова тройка 3,4,5). Радиус находим по формуле r ===4. Ответ.4.

Основное тригонометрическое тождество – частный случай теоремы Пифагора: sin2a + cos2a = 1; (a/c) 2 + (b/c)2 =1. Поэтому некоторые тригонометрические задания легко решаются устно с помощью Пифагоровых троек.

Задачи, в которых требуется по заданному значению функции найти значения остальных тригонометрических функций, можно решить без возведения в квадрат и извлечения квадратного корня. Все задания этого типа в школьном учебнике алгебры (10-11) Мордковича (№ 000-№ 000) можно решить устно, зная всего несколько пифагоровых троек: 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 . Рассмотрим решения двух заданий.

№ 000 а). sin t = 4/5, π/2< t < π.

Решение . Пифагорова тройка: 3, 4, 5. Следовательно, cos t = -3/5; tg t = -4/3,

№ 000 б). tg t = 2,4, π< t < 3π/2.

Решение. tg t = 2,4=24/10=12/5. Пифагорова тройка 5,12,13. Учитывая знаки, получаем sin t = -12/13, cos t = -5/13, ctg t = 5/12.

3. Контрольно-измерительные материалы ЕГЭ

а) cos (arcsin 3/5)=4/5 (3, 4, 5)

б) sin (arccos 5/13)=12/13 (5, 12, 13)

в) tg (arcsin 0,6)=0,75 (6, 8, 10)

г) ctg (arccos 9/41) =9/40 (9, 40, 41)

д) 4/3 tg (π–arcsin (–3/5))= 4/3 tg (π+arcsin 3/5)= 4/3 tg arcsin 3/5=4/3·3/4=1

е) проверьте верность равенства:

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2.

Решение. arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 = π/2 - arcsin 16/65

sin (arcsin 4/5 + arcsin 5/13) = sin (arсcos 16/65)

sin (arcsin 4/5) · cos (arcsin 5/13) + cos (arcsin 4/5) · sin (arcsin 5/13) = 63/65

4/5 · 12/13 + 3/5 · 5/13 = 63/65

III. Заключение

В геометрических задачах часто приходится решать прямоугольные треугольники, иногда несколько раз. Проанализировав задания школьных учебников и материалов ЕГЭ, можно сделать вывод, что в основном используются тройки: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 8,15,17; которые легко запомнить. При решении некоторых тригонометрических заданий классическое решение с помощью тригонометрических формул и большим количеством вычислений занимает время, а знание пифагоровых троек избавит от ошибок в вычислениях и сэкономит время для решения более трудных задач на ЕГЭ.

Библиографический список

1. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для общеобразовательных учреждений / [ и др.]; под ред. . – 8-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2007. – 315 с. : ил.

2. Перельман алгебра. – Д.: ВАП, 1994. – 200 с.

3. Рогановский: Учеб. Для 7-9 кл. с углубл. изучением математики общеобразоват. шк. с рус. яз. обучения, - 3-е изд. – Мн.; Нар. Асвета, 2000. – 574 с.: ил.

4. Математика: Хрестоматия по истории, методологии, дидактике. / Сост. . – М.: Изд-во УРАО, 2001. – 384 с.

5. Журнал «Математика в школе» №1, 1965 год.

6. Контрольно-измерительные материалы ЕГЭ.

7. Геометрия, 7-9: Учеб. для общеобразовательных учреждений /, и др. – 13-е изд.. – М. : Просвещение,2003. – 384 с. : ил.

8. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк./ , и др. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1993, - 207 с.: ил.

Перельман алгебра. – Д.: ВАП, 1994. – 200 с.

Журнал «Математика в школе» №1, 1965 год.

Геометрия, 7-9: Учеб. для общеобразовательных учреждений /, и др. – 13-е изд.. – М. : Просвещение,2003. – 384 с. : ил.

Рогановский: Учеб. Для 7-9 кл. с углубл. изучением математики общеобразоват. шк. с рус. яз. обучения, - 3-е изд. – Мн.; Нар. Асвета, 2000. – 574 с.: ил.

Алгебра и начала анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для общеобразовательных учреждений / [ и др.]; под ред. . – 8-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2007. – 315 с. : ил., стр.18.

Червяк Виталий

Скачать:

Предварительный просмотр:

Конкурс научных проектов школьников

В рамках краевой научно-практической конференции «Эврика»

Малой академии наук учащихся Кубани

Исследование пифагоровых чисел

Секция математика.

Червяк Виталий Геннадиевич, 9 класс

МОБУ СОШ №14

Кореновский район

Ст. Журавская

Научный руководитель:

Манько Галина Васильевна

Учитель математики

МОБУ СОШ №14

Кореновск 2011 г

Червяк Виталий Геннадиевич

Пифагоровы числа

Аннотация.

Тема исследования: Пифагоровы числа

Цели исследования:

Задачи исследования:

• Выявление и развитие математических способностей;
• Расширение математического представления по данной теме;
• Формирование устойчивого интереса к предмету;
• Развитие коммуникативных и общеучебных навыков самостоятельной работы, умение вести дискуссию, аргументировать и т.д.;
• Формирование и развитие аналитического и логического мышления;

Методы исследования:

• Использование ресурсов сети Интернет;
• Обращение к справочной литературе;
• Проведение эксперимента;

Вывод:

• Эта работа может быть использована на уроке геометрии как дополнительный материал, для проведения элективных курсов или факультативов по математике, а также во внеклассной работе по математике;

Червяк Виталий Геннадиевич

Краснодарский край, станица Журавская, МОБУ СОШ №14, 9 класс

Пифагоровы числа

Научный руководитель: Манько Галина Васильевна, учитель математики МОБУ СОШ №14

1. Введение…………………………………………………………………3
2. Основная часть

2.1 Историческая страничка……………………………………………………4

2.2 Доказательство чётности и нечётности катетов……….............................5-6

2.3 Вывод закономерности для нахождения

Пифагоровых чисел……………………………………………………………7

2.4 Свойства пифагоровых чисел ……………………………………………… 8

3. Заключение……………………………………………………………………9

4.Список использованных источников и литературы…………………… 10

Приложения.........................................................................................................11

Приложение I……………………………………………………………………11

Приложение II…………………………………………………………………..13

Червяк Виталий Геннадиевич

Краснодарский край, станица Журавская, МОБУ СОШ №14, 9 класс

Пифагоровы числа

Научный руководитель: Манько Галина Васильевна, учитель математики МОБУ СОШ №14

Введение

О Пифагоре и его жизни я услышал в пятом классе на уроке математики, и меня заинтересовало высказывание «Пифагоровы штаны во все стороны равны». При изучении теоремы Пифагора меня заинтересовали пифагоровы числа.Я поставил цель исследования : узнать больше о теореме Пифагора и «пифагоровых числах».

Актуальность темы . Ценность теоремы Пифагора и пифагоровых троек доказана многими учёнными мира на протяжении многих веков. Проблема, о которой пойдёт речь в моей работе выглядит довольно простой потому, что в основе её лежит математическое утверждение, которое всем известно, - теорема Пифагора: в любом прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенных на катетах. Теперь тройки натуральных чисел x, y, z, для которых x 2 + y 2 = z 2 , принято называть пифагоровыми тройками . Оказывается, пифагоровы тройки знали уже в Вавилоне. Постепенно нашли их и греческие математики.

Цель данной работы

1. Исследовать пифагоровы числа;
2. Понять, как получаются пифагоровы числа;
3. Выяснить, какими свойствами обладают пифагоровы числа;
4. Опытно-экспериментальным путём построить перпендикулярные прямые на местности, используя пифагоровы числа;

В соответствии с целью работы поставлен ряд следующих задач :

1. Глубже изучить историю теоремы Пифагора;

2. Анализ универсальных свойств пифагоровых троек.

3. Анализ практического применения пифагоровых троек.

Объект исследования : пифагоровы тройки.

Предмет исследования : математика .

Методы исследования : - Использование ресурсов сети Интернет; -Обращение к справочной литературе; -Проведение эксперимента;

Теоретическая значимость: роль, которую играет открытие пифагоровых троек в науке; практическое применение открытия Пифагора в жизнедеятельности человека.

Прикладная ценность исследования заключается в анализе литературных источников и систематизации фактов.

Червяк Виталий Геннадиевич

Краснодарский край, станица Журавская, МОБУ СОШ №14, 9 класс

Пифагоровы числа

Научный руководитель: Манько Галина Васильевна, учитель математики МОБУ СОШ №14

Из истории пифагоровых чисел.

• Древний Китай:

Математическая книга Чу-пей: [ 2]

"Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4".

• Древний Египет: [ 2]

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора гарпедонапты , или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3; 4 и 5.

• Вавилония: [ 3 ]

«Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку."

• История теоремы Пифагора: ,

Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него.

В вавилонских текстах она встречается за 1200 лет до Пифагора.

По-видимому, он первым нашёл её доказательство. В связи с этим была сделана следующую запись: «… когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста».

Червяк Виталий Геннадиевич

Краснодарский край, станица Журавская, МОБУ СОШ №14, 9 класс

Пифагоровы числа

Научный руководитель: Манько Галина Васильевна, учитель математики МОБУ СОШ №14

Исследование Пифагоровых чисел.

• Каждый треугольник, стороны относятся как 3:4:5, согласно общеизвестной теореме Пифагора, - прямоугольный, так как

3 2 + 4 2 = 5 2.

• Кроме чисел 3,4 и 5 , существует, как известно, бесконечное множество целых положительных чисел а, в и с, удовлетворяющих соотношению
• А 2 + в 2 = с 2.
• Эти числа называются пифагоровыми числами

Пифагоровы тройки известны очень давно. В архитектуре древнелесопотамских надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей. Пирамиды фараона Снофру (XXVII век до н.э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей. [ 1 ]

Прямоугольный треугольник, с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 называется египетским треугольником. Площадь этого треугольника равна совершенному числу 6. Периметр равен 12 – числу, которое считалось символом счастья и достатка.

С помощью верёвки разделенной узлами на 12 равных частей древние египтяне строили прямоугольный треугольник и прямой угол. Удобный и очень точный способ, употребляемый землемерами для проведения на местности перпендикулярных линий. Необходимо взять шнур и три колышка, шнур располагают треугольником так, чтобы одна сторона состояла из 3 частей, вторая из 4 долей и последняя из пяти таких долей. Шнур расположится треугольником, в котором есть прямой угол.

Этот древний способ, по-видимому, применявшийся ещё тысячелетия назад строителями египетских пирамид, основан на том, что каждый треугольник, стороны которого относятся как 3:4:5, согласно теореме Пифагора, прямоугольный.

Нахождением пифагоровых троек занимались Евклид, Пифагор, Диофант и многие другие. [ 1]

Ясно, что если (x, y, z ) – пифагорова тройка, то для любого натурального k тройка (kx, ky, kz ) также будет пифагоровой тройкой. В частности, (6, 8, 10), (9, 12, 15) и т.д. являются пифагоровыми тройками.

По мере того, как числа возрастают, пифагоровы тройки встречаются всё реже и находить их становится все труднее и труднее. Пифагорейцы изобрели метод отыскания

таких троек и, пользуясь им, доказали, что пифагоровых троек существует бесконечно много.

Тройки, не имеющие общих делителей, больших 1, называются простейшими.

Рассмотрим некоторые свойства пифагоровых троек. [ 1]

Согласно теореме Пифагора эти числа могут служить длинами некоторого прямоугольного треугольника; поэтому а и в называют «катетами»,а с – « гипотенузой».
Ясно, что если а,в,с есть тройка пифагоровых чисел, то и ра,рв,рс, где р- целочисленный множитель,- пифагоровы числа.
Верно и обратное утверждение!
Поэтому будем вначале исследовать лишь тройки взаимно простых пифагоровых чисел (остальные получаются из них умножением на целочисленный множитель р).

Покажем, что в каждой из таких троек а,в,с один из «катетов»должен быть чётным, а другой нечётным. Будем рассуждать «от противного». Если оба «катета» а и в чётны, то чётным будет число а 2 + в 2 , а значит и «гипотенуза». Но это противоречит тому, что числа а,в и с не имеют общих множителей, так как три чётных числа имеют общий множитель 2. Таким образом хоть один из « катетов» а и в нечётен.

Остаётся ещё одна возможность: оба «катета» нечётные, а «гипотенуза» чётная. Нетрудно доказать, что этого не может быть, так как если «катеты» имеют вид 2 х + 1 и 2у+1, то сумма их квадратов равна

4х 2 + 4х + 1 + 4у 2 + 4у +1 = 4 (х 2 + х + у 2 + у) +2, т.е. представляет собой число, которое при делении на 4 даёт в остатке 2. Между тем квадрат всякого чётного числа должен делиться на 4 без остатка.

Значит, сумма квадратов двух нечётных чисел не может быть квадратом чётного числа; иначе говоря, наши три числа - не пифагоровы.

ВЫВОД:

Итак, из « катетов» а, в один чётный, а другой нечётный. Поэтому число а 2 + в 2 нечётно, а значит, нечётна и « гипотенуза» с.

Пифагор нашёл формулы, которые в современной символике могут быть записаны так: a=2n+1, b=2n(n+1), c=2 n 2 +2n+1, где n – целое число.

Эти числа – пифагоровы тройки.

Червяк Виталий Геннадиевич

Краснодарский край, станица Журавская, МОБУ СОШ №14, 9 класс

Пифагоровы числа

Научный руководитель: Манько Галина Васильевна, учитель математики МОБУ СОШ №14

Вывод закономерности для нахождения пифагоровых чисел.

Вот следующие пифагоровы тройки:

• 3, 4, 5; 9+16=25.
• 5, 12, 13; 25+144=225.
• 7, 24, 25; 49+576=625.
• 8, 15, 17; 64+225=289.
• 9, 40, 41; 81+1600=1681.
• 12, 35, 37; 144+1225=1369.
• 20, 21, 29; 400+441=881

Нетрудно заметить, что при умножении каждого из чисел пифагоровой тройки на 2, 3, 4, 5 и т.д., мы получим следующие тройки.

• 6, 8, 10;
• 9,12,15.
• 12, 16, 20;
• 15, 20, 25;
• 10, 24, 26;
• 18, 24, 30;
• 16, 30, 34;
• 21, 28, 35;
• 15, 36, 39;
• 24, 32, 40;
• 14, 48, 50;
• 30, 40, 50 и т.д.

Они так же являются Пифагоровыми числами/

Червяк Виталий Геннадиевич

Краснодарский край, станица Журавская, МОБУ СОШ №14, 9 класс

Пифагоровы числа

Научный руководитель: Манько Галина Васильевна, учитель математики МОБУ СОШ №14

Свойства пифагоровых чисел.

• При рассмотрении пифагоровых чисел я увидел ряд свойств:
• 1) Одно из пифагоровых чисел должно быть кратно трём;
• 2) Другое из них должно быть кратно четырём;
• 3) А третье из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти;

Червяк Виталий Геннадиевич

Краснодарский край, станица Журавская, МОБУ СОШ №14, 9 класс

Пифагоровы числа

Научный руководитель: Манько Галина Васильевна, учитель математики МОБУ СОШ №14

Заключение.

Геометрия, как и другие науки, возникла из потребностей практики. Само слово «геометрия» - греческое, в переводе означает «землемерие».

Люди очень рано столкнулись с необходимостью измерять земельные участки. Уже за 3-4 тыс. лет до н.э. каждый клочок плодородной земли в долинах Нила, Ефрата и Тигра, рек Китая имел значение для жизни людей. Это требовало определённого запаса геометрических и арифметических знаний.

Постепенно люди начали измерять и изучать свойства более сложных геометрических фигур.

И в Египте и в Вавилоне сооружались колоссальные храмы, строительство которых могло производиться только на основе предварительных расчётов. Также строились водопроводы. Всё это требовало чертежей и расчётов. К этому времени были хорошо известны частные случаи теоремы Пифагора, уже знали, что если взять треугольники со сторонами x, y, z, где x, y, z – такие целые числа, что x 2 + y 2 = z 2 , то эти треугольники будут прямоугольными.

Все эти знания непосредственным образом применялись во многих сферах жизнедеятельности человека.

Так до сих пор великое открытие учёного и философа древности Пифагора находит прямое применение в нашей жизни.

Строительство домов, дорог, космических кораблей, автомобилей, станков, нефтепроводов, самолётов, тоннелей, метро и многое, многое другое. Пифагоровы тройки находят прямое применение в проектировании множества вещей, окружающих нас в повседневной жизни.

А умы учёных продолжают искать новые варианты доказательств теоремы Пифагора.

• В результате моей работы мне удалось:
• 1. Больше узнать о Пифагоре, его жизни, братстве Пифагорейцев.
• 2. Познакомится с историей теоремы Пифагора.
• 3. Узнать о пифагоровых числах, их свойствах, научиться их находить и применять в практической деятельности.

Червяк Виталий Геннадиевич

Краснодарский край, станица Журавская, МОБУ СОШ №14, 9 класс

Пифагоровы числа

Научный руководитель: Манько Галина Васильевна, учитель математики МОБУ СОШ №14

Литература.

1. Занимательная алгебра. Я.И. Перельман (с.117-120)
2. www.garshin.ru
3. image.yandex.ru

4. Аносов Д.В. Взгляд на математику и нечто из неё. – М.: МЦНМО, 2003.

5. Детская энциклопедия. – М.: Издательство Академии Педагогических Наук РСФСР, 1959.

6. Степанова Л.Л. Избранные главы элементарной теории чисел. – М.: Прометей, 2001.

7. В. Серпинский Пифагоровы треугольники. - М.: Учпедгиз, 1959. С.111

Ход исследования Историческая страничка; Теорема Пифагора; Доказать, что один из « катетов» должен быть чётным, а другой нечётным; Вывод закономерности для нахождения пифагоровых чисел; Выявить свойства пифагоровых чисел;

Введение О Пифагоре и его жизни я услышал в пятом классе на уроке математики, и меня заинтересовало высказывание «Пифагоровы штаны во все стороны равны». При изучении теоремы Пифагора меня заинтересовали пифагоровы числа. Я поставил цель исследования: узнать больше о теореме Пифагора и «пифагоровых числах».

Пр ебудет вечной истина, как скоро Её познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далёкий век

Из истории пифагоровых чисел. Древний Китай Математическая книга Чу-пей: "Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4".

Пифагоровы числа у древних египтян Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора гарпедонапты, или " натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3; 4 и 5.

Теорема Пифагора в Вавилонии «Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку."

Каждый треугольник, стороны относятся как 3:4:5, согласно общеизвестной теореме Пифагора, - прямоугольный, так как 3 2 + 4 2 = 5 2. Кроме чисел 3,4 и 5 , существует, как известно, бесконечное множество целых положительных чисел а, в и с, удовлетворяющих соотношению А 2 + в 2 = с 2. Эти числа называются пифагоровыми числами

Согласно теореме Пифагора эти числа могут служить длинами некоторого прямоугольного треугольника; поэтому а и в называют «катетами», а с – « гипотенузой». Ясно, что если а,в,с есть тройка пифагоровых чисел, то и ра,рв,рс, где р - целочисленный множитель,- пифагоровы числа. Верно и обратное утверждение! Поэтому будем вначале исследовать лишь тройки взаимно простых пифагоровых чисел (остальные получаются из них умножением на целочисленный множитель р)

Вывод! Итак из чисел а и в одно чётно, а другое нечётно, а значит нечётно и третье число.

Вот следующие Пифагоровы тройки: 3, 4, 5; 9+16=25 . 5, 12, 13; 25+144=169. 7, 24, 25; 49+576=625. 8, 15, 17; 64+225=289. 9, 40, 41; 81+1600=1681. 12, 35, 37; 144+1225=1369. 20, 21, 29; 400+441=841

Нетрудно заметить, что при умножении каждого из чисел пифагоровой тройки на 2, 3, 4, 5 и т.д., мы получим следующие тройки. 6, 8, 10; 9,12,15. 12, 16, 20; 15, 20, 25; 10, 24, 26; 18, 24, 30; 16, 30, 34; 21, 28, 35; 15, 36, 39; 24, 32, 40; 14, 48, 50; 30, 40, 50 и т.д. Они так же являются Пифагоровыми числами

Свойства пифагоровых чисел При рассмотрении пифагоровых чисел я увидел ряд свойств: 1) Одно из пифагоровых чисел должно быть кратно трём; 2) одно из них должно быть кратно четырём; 3) А другое из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти;

Практическое применение пифагоровых чисел

Вывод: В результате моей работы мне удалось 1. Больше узнать о Пифагоре, его жизни, братстве Пифагорейцев. 2. Познакомится с историей теоремы Пифагора. 3. Узнать о пифагоровых числах, их свойствах, научиться их находить. Опытно –экспериментальным путём откладывать прямой угол с помощью пифагоровых чисел.