Какие координаты определяют профильную проекцию точки. Проецирование точки. I этап. мотивация учебной деятельности

При прямоугольном проецировании система плоскостей проекций представляет собой две взаимно перпендикулярные плоскости проекций (рис. 2.1). Одну условились располагать горизонтально, а другую - вертикально.

Плоскость проекций, расположенную горизонтально, называют горизонтальной плоскостью проекций и обозначают щ, а плоскость, ей перпендикулярную, - фронтальной плоскостью проекций л 2 . Саму систему плоскостей проекций обозначают п/п 2 . Обычно употребляют сокращенные выражения: плоскость Л[, плоскость п 2 . Линию пересечения плоскостей щ и к 2 называют осью проекций ОХ. Она делит каждую плоскость проекций на две части - полы. Горизонтальная плоскость проекций имеет переднюю и заднюю, а фронтальная - верхнюю и нижнюю полы.

Плоскости щ и п 2 делят пространство на четыре части, называемые четвертями и обозначаемые римскими цифрами I, II, III и IV (см. рис. 2.1). Первой четвертью называют часть пространства, ограниченную верхней полой фронтальной и передней полой горизонтальной плоскостей проекций. Для остальных четвертей пространства определения аналогичны предыдущему.

Все машиностроительные чертежи представляют собой изображения, построенные на одной плоскости. На рис. 2.1 система плоскостей проекций является пространственной. Для перехода к изображениям на одной плоскости условились совмещать плоскости проекций. Обычно плоскость п 2 оставляют неподвижной, а плоскость П поворачивают по направлению, указанному стрелками (см. рис. 2.1), вокруг оси ОХ на угол 90° до совмещения ее с плоскостью п 2 . При таком повороте передняя пола горизонтальной плоскости опускается вниз, а задняя поднимается вверх. После совмещения плоскости имеют вид, изобра-

женный на рис. 2.2. Считают, что плоскости проекций непрозрачны и наблюдатель всегда находится в первой четверти. На рис. 2.2 обозначение невидимых после совмещения пол плоскостей взято в скобки, как это принято для выделения на чертежах невидимых фигур.

Проецируемая точка может находиться в любой четверти пространства или на любой плоскости проекций. Во всех случаях для построения проекций через нее проводят проецирующие прямые и находят точки встречи их с плоскостями 711 и 712, которые и являются проек- циями.

Рассмотрим проецирование точки, расположенной в первой четверти. Заданы система плоскостей проекций 711/712 и точка А (рис. 2.3). Через нее проводят две прямые ЛИНИИ, перпендикулярные ПЛОСКОСТЯМ 71) И 71 2 . Одна из них пересечет плоскость 711 в точке А ", называемой горизонтальной проекцией точки А, а другая - плоскость 71 2 в точке А ", называемой фронтальной проекцией точки А.

Проецирующие прямые АА " и АА " определяют плоскость проецирования а. Она перпендикулярна плоскостям Кип 2 , так как проходит через перпендикуляры к ним и пересекает плоскости проекций по прямым А "Ах и А "А х. Ось проекций ОХ перпендикулярна плоскости ос, как линия пересечения двух плоскостей 71| и 71 2 , перпендикулярных третьей плоскости (а), а следовательно, и любой прямой, лежащей в ней. В частности, 0X1А"А х и 0X1А "А х.

При совмещении плоскостей отрезок А "А х, расположенный на плоскости к 2 , остается неподвижным, а отрезок А "А х вместе с плоскостью 71) будет повернут вокруг оси ОХ до совмещения с плоскостью 71 2 . Вид совмещенных плоскостей проекций вместе с проекциями точки А приведен на рис. 2.4, а. После совмещения точки А ", А х и А " окажутся расположенными на одной прямой, перпендикулярной оси ОХ. Отсюда следует вывод, что две проекции одной и той же точки



лежат на общем перпендикуляре к оси проекции. Этот перпендикуляр, соединяющий две проекции одной и той же точки, называют линией проекционной связи.

Чертеж на рис. 2.4, а можно значительно упростить. Обозначения совмещенных плоскостей проекций на чертежах не отмечают и прямоугольники, условно ограничивающие плоскости проекций, не изображают, так как плоскости безграничны. Упрощенный чертеж точки А (рис. 2.4, б) называют также эпюром (от франц. ?pure - чертеж).

Изображенный на рис. 2.3 четырехугольник AE4 "А Х А " является прямоугольником и его противоположные стороны равны и параллельны. Поэтому расстояние от точки А до плоскости П , измеряемое отрезком АА ", на чертеже определяется отрезком А "А х. Отрезок же А "А х = АА" позволяет судить о расстоянии от точки А до плоскости к 2 . Таким образом, чертеж точки дает полное представление о ее расположении относительно плоскостей проекций. Например, по чертежу (см. рис. 2.4, б) можно утверждать, что точка А расположена в первой четверти и удалена от плоскости п 2 на меньшее расстояние, чем от плоскости тс ь так как А "А х А "А х.

Перейдем к проецированию точки во второй, третьей и четвертой четвертях пространства.


При проецировании точки В, расположенной во второй четверти (рис. 2.5), после совмещения плоскостей обе ее проекции окажутся выше оси ОХ.

Горизонтальная проекция точки С, заданной в третьей четверти (рис. 2.6), расположена выше оси ОХ, а фронтальная - ниже.

Точка Д изображенная на рис. 2.7, расположена в четвертой четверти. После совмещения плоскостей проекций обе ее проекции окажутся ниже оси ОХ.

Сравнивая чертежи точек, находящихся в разных четвертях пространства (см. рис. 2.4-2.7), можно заметить, что для каждой характерно свое расположение проекций относительно оси проекций ОХ.

В частных случаях проецируемая точка может лежать на плоскости проекций. Тогда одна ее проекция совпадает с самой точкой, а другая будет расположена на оси проекций. Например, для точки Е, лежащей на плоскости щ (рис. 2.8), горизонтальная проекция совпадает с самой точкой, а фронтальная находится на оси ОХ. У точки Е, расположенной на плоскости к 2 (рис. 2.9), горизонтальная проекция на оси ОХ, а фронтальная совпадает с самой точкой.

Рассмотрим профильную плоскость проекций. Проекции на две перпендикулярные плоскости обычно определяют положение фигуры и дают возможность узнать ее настоящие размеры и форму. Но бывают случаи, когда двух проекций оказывается недостаточно. Тогда применяют построение третьей проекции.

Третью плоскость проекции проводят так, чтобы она была перпендикулярна одновременно обеим плоскостям проекций (рис. 15). Третью плоскость принято называть профильной .

В таких построениях общую прямую горизонтальной и фронтальной плоскостей называют осью х , общую прямую горизонтальной и профильной плоскостей – осью у , а общую прямую фронтальной и профильной плоскостей – осью z . Точка О , которая принадлежит всем трем плоскостям, называется точкой начала координат.

На рисунке 15а показана точка А и три ее проекции. Проекцию на профильную плоскость (а́́ ) называют профильной проекцией и обозначают а́́ .

Для получения эпюра точки А, которая состоит из трех проекций а, а а , необходимо разрезать трехгранник, образующийся всеми плоскостями, вдоль оси у (рис. 15б) и совместить все эти плоскости с плоскостью фронтальной проекции. Горизонтальную плоскость необходимо вращать около оси х , а профильную плоскость – около оси z в направлении, указанном на рисунке 15 стрелкой.

На рисунке 16 изображено положение проекций а, а́ и а́́ точки А , полученное в результате совмещения всех трех плоскостей с плоскостью чертежа.

В результате разреза ось у встречается на эпюре в двух различных местах. На горизонтальной плоскости (рис. 16) она принимает вертикальное положение (перпендикулярно оси х ), а на профильной плоскости – горизонтальное (перпендикулярно оси z ).



На рисунке 16 три проекции а, а́ и а́́ точки А имеют на эпюре строго определенное положение и подчинены однозначным условиям:

а и а́ всегда должны располагаться на одной вертикальной прямой, перпендикулярной оси х ;

а́ и а́́ всегда должны располагаться на одной горизонтальной прямой, перпендикулярной оси z ;

3) при проведении через горизонтальную проекцию а горизонтальной прямой, а через профильную проекцию а́́ – вертикальной прямой построенные прямые обязательно пересекутся на биссектрисе угла между осями проекций, так как фигура Оа у а 0 а н – квадрат.

При выполнении построения трех проекций точки нужно проверять выполняемость всех трех условий для каждой точки.

Координаты точки

Положение точки в пространстве может быть определено с помощью трех чисел, называемых ее координатами . Каждой координате соответствует расстояние точки от какой-нибудь плоскости проекций.

Расстояние определяемой точки А до профильной плоскости является координатой х , при этом х = а˝А (рис. 15), расстояние до фронтальной плоскости – координатой у, причем у = а́А , а расстояние до горизонтальной плоскости – координатой z , при этом z = aA .

На рисунке 15 точка А занимает ширину прямоугольного параллелепипеда, и измерения этого параллелепипеда соответствуют координатам этой точки, т. е., каждая из координат представлена на рисунке 15 четыре раза, т. е.:

х = а˝А = Оа х = а у а = a z á;

y = а́А = Оа y = а x а = а z а˝;

z = aA = Oa z = а x а́ = а y а˝.

На эпюре (рис. 16) координаты х и z встречаются по три раза:

х = а z а ́= Оа x = а y а,

z = а x á = Oa z = а y а˝.

Все отрезки, которые соответствуют координате х (или z ), являются параллельными между собой. Координата у два раза представлена осью, расположенной вертикально:

y = Оа у = а х а

и два раза – расположенной горизонтально:

у = Оа у = а z а˝.

Данное различие появилось из-за того, что ось у присутствует на эпюре в двух различных положениях.

Следует учесть, что положение каждой проекции определяется на эпюре только двумя координатами, а именно:

1) горизонтальной – координатами х и у ,

2) фронтальной – координатами x и z ,

3) профильной – координатами у и z .

Используя координаты х, у и z , можно построить проекции точки на эпюре.

Если точка А задается координатами, их запись определяется так: А (х; у; z ).

При построении проекций точки А нужно проверять выполняемость следующих условий:

1) горизонтальная и фронтальная проекции а и а́ х х ;

2) фронтальная и профильная проекции а́ и а˝ должны располагаться на одном перпендикуляре к оси z , так как имеют общую координату z ;

3) горизонтальная проекция а так же удалена от оси х , как и профильная проекция а удалена от оси z , так как проекции а́ и а˝ имеют общую координату у .

В случае, если точка лежит в любой из плоскостей проекций, то одна из ее координат равна нулю.

Когда точка лежит на оси проекций, две ее координаты равны нулю.

Если точка лежит в начале координат, все три ее координаты равны нулю.

Проекции прямой

Для определения прямой необходимы две точки. Точку определяют две проекции на горизонтальную и фронтальную плоскости, т. е. прямая определяется с помощью проекций двух своих точек на горизонтальной и фронтальной плоскостях.

На рисунке 17 показаны проекции (а и á, b и ) двух точек А и В. С их помощью определяется положение некоторой прямой АВ . При соединении одноименных проекций этих точек (т. е. а и b, а́ и ) можно получить проекции аb и а́b́ прямой АВ.

На рисунке 18 показаны проекции обеих точек, а на рисунке 19 – проекции проходящей через них прямой линии.

Если проекции прямой определяются проекциями двух ее точек, то они обозначаются двумя рядом поставленными латинскими буквами, соответствующими обозначениям проекций точек, взятых на прямой: со штрихами для обозначения фронтальной проекции прямой или без штрихов – для горизонтальной проекции.

Если рассматривать не отдельные точки прямой, а ее проекции в целом, то данные проекции обозначаются цифрами.

Если некоторая точка С лежит на прямой АВ , ее проекции с и с́ находятся на одноименных проекциях прямой ab и а́b́ . Данную ситуацию поясняет рисунок 19.

Следы прямой

След прямой – это точка пересечения ее с некоторой плоскостью или поверхностью (рис. 20).

Горизонтальным следом прямой называется некоторая точка H , в которой прямая встречается с горизонтальной плоскостью, а фронтальным – точка V , в которой данная прямая встречается с фронтальной плоскостью (рис. 20).

На рисунке 21а изображен горизонтальный след прямой, а ее фронтальный след, – на рисунке 21б.

Иногда также рассматривается профильный след прямой, W – точка пересечения прямой с профильной плоскостью.

Горизонтальный след находится в горизонтальной плоскости, т. е. его горизонтальная проекция h совпадает с этим следом, а фронтальная лежит на оси х. Фронтальный след лежит во фронтальной плоскости, поэтому его фронтальная проекция ν́ совпадает с ним же, а горизонтальная v лежит на оси х.

Итак, H = h , и V = ν́. Следовательно, для обозначения следов прямой можно применять буквы h и ν́.

Различные положения прямой

Прямую называют прямой общего положения , если она не параллельна и не перпендикулярна ни одной плоскости проекций. Проекции прямой общего положения тоже не параллельны и не перпендикулярны осям проекций.

Прямые, которые параллельны одной из плоскостей проекций (перпендикулярны одной из осей). На рисунке 22 показана прямая, которая параллельна горизонтальной плоскости (перпендикулярная оси z), – горизонтальная прямая; на рисунке 23 показана прямая, которая параллельна фронтальной плоскости (перпендикулярна оси у ), – фронтальная прямая; на рисунке 24 показана прямая, которая параллельна профильной плоскости (перпендикулярна оси х ), – профильная прямая. Несмотря на то что каждая из данных прямых образует с одной из осей прямой угол, они не пересекают ее, а только скрещиваются с нею.

Из-за того что горизонтальная прямая (рис. 22) параллельна горизонтальной плоскости, ее фронтальная и профильная проекции будут параллельны осям, определяющим горизонтальную плоскость, т. е. осям х и у . Поэтому проекции áb́ || х и a˝b˝ || у z . Горизонтальная проекция ab может занимать любое положение на эпюре.

У фронтальной прямой (рис. 23) проекции аb || x и a˝b˝ || z , т. е. они перпендикулярны оси у , а потому в этом случае фронтальная проекция а́b́ прямой может занимать произвольное положение.

У профильной прямой (рис. 24) аb || у, а́b || z , и обе они перпендикулярны оси х. Проекция а˝b˝ может располагаться на эпюре любым образом.

При рассмотрении той плоскости, которая проецирует горизонтальную прямую на фронтальную плоскость (рис. 22), можно заметить, что она проецирует эту прямую и на профильную плоскость, т. е. она является плоскостью, которая проецирует прямую сразу на две плоскости проекций – фронтальную и профильную. Исходя из этого ее называют дважды проецирующей плоскостью . Таким же образом для фронтальной прямой (рис. 23) дважды проецирующая плоскость проецирует ее на плоскости горизонтальной и профильной проекций, а для профильной (рис. 23) – на плоскости горизонтальной и фронтальной проекций.

Две проекции не могут определить прямую. Две проекции 1 и профильной прямой (рис. 25) без уточнения на них проекций двух точек этой прямой не определят положения данной прямой в пространстве.

В плоскости, которая перпендикулярна двум заданным плоскостям симметрии, возможно существование бесчисленного множество прямых, для которых данные на эпюре 1 и являются их проекциями.

Если точка находится на прямой, то ее проекции во всех случаях лежат на одноименных проекциях этой прямой. Обратное положение не всегда справедливо для профильной прямой. На ее проекциях можно произвольным образом указать проекции определенной точки и не быть уверенным в том, что эта точка лежит на данной прямой.

Во всех трех частных случаях (рис. 22, 23 и 24) положения прямой по отношению к плоскости проекций произвольный ее отрезок АВ , взятый на каждой из прямых, проецируется на одну из плоскостей проекций без искажения, т. е. на ту плоскость, которой он параллелен. Отрезок АВ горизонтальной прямой (рис. 22) дает проекцию в натуральную величину на горизонтальную плоскость (аb = АВ ); отрезок АВ фронтальной прямой (рис. 23) – в натуральную величину на плоскость фронтальной плоскости V (áb́ = AB ) и отрезок АВ профильной прямой (рис. 24) – в натуральную величину на профильную плоскость W (a˝b˝ = АВ), т. е. представляется возможным измерить на чертеже натуральную величину отрезка.

Иначе говоря, с помощью эпюр можно определить натуральные размеры углов, которые рассматриваемая прямая образует с плоскостями проекций.

Угол, который составляет прямая с горизонтальной плос костью Н , принято обозначать буквой α, с фронтальной плоскостью – буквой β, с профильной плоскостью – буквой γ.

Любая из рассматриваемых прямых не имеет следа на параллельной ей плоскости, т. е. горизонтальная прямая не имеет горизонтального следа (рис. 22), фронтальная прямая не имеет фронтального следа (рис. 23), а профильная прямая – профильного следа (рис. 24).

Точка в пространстве определяется любыми двумя своими проекциями. При необходимости построения третьей проекции по двум заданным необходимо воспользоваться соответствием отрезков линий проекционной связи, полученных при определении расстояний от точки до плоскости проекций (см. рис. 2.27 и рис. 2.28).

Примеры решения задач в I октанте

Дано А 1 ; А 2 Построить А 3
Дано А 2 ; А 3 Построить А 1
Дано А 1 ; А 3 Построить А 2

Рассмотрим алгоритм построения точки А (табл. 2.5)

Таблица 2.5

Алгоритм построения точки А
по заданным координатам А (x = 5, y = 20, z = -9)

В следующих главах мы будем рассматривать образы: прямые и плоскости только в первой четверти. Хотя все рассматриваемые способы можно применить в любой четверти.

Выводы

Таким образом, на основании теории Г. Монжа, можно преобразовать пространственное изображение образа (точки) в плоскостное.

Эта теория основывается на следующих положениях:

1. Все пространство делится на 4 четверти с помощью двух взаимно перпендикулярных плоскостей p 1 и p 2 , либо на 8 октантов при добавлении третьей взаимно-перпендикулярной плоскости p 3 .

2. Изображение пространственного образа на эти плоскости получается с помощью прямоугольного (ортогонального) проецирования.

3. Для преобразования пространственного изображения в плоскостное считают, что плоскость p 2 – неподвижна, а плоскость p 1 вращается вокруг оси x так, что положительная полуплоскость p 1 совмещается с отрицательной полуплоскостью p 2 , отрицательная часть p 1 – с положительной частью p 2 .

4. Плоскость p 3 вращается вокруг оси z (линии пересечения плоскостей) до совмещения с плоскостью p 2 (см. рис. 2.31).

Изображения, получающиеся на плоскостях p 1 , p 2 и p 3 при прямоугольном проецировании образов, называются проекциями.

Плоскости p 1 , p 2 и p 3 вместе с изображенными на них проекциями, образуют плоскостной комплексный чертеж или эпюр.

Линии, соединяющие проекции образа ^ осям x , y , z , называются линиями проекционной связи.

Для более точного определения образов в пространстве может быть применена система трех взаимно перпендикулярных плоскостей p 1 , p 2 , p 3 .

В зависимости от условия задачи можно выбрать для изображения либо систему p 1 , p 2 , либо p 1 , p 2 , p 3 .

Систему плоскостей p 1 , p 2 , p 3 можно соединить с системой декартовых координат, что дает возможность задавать объекты не только графическим или (вербальным) образом, но и аналитическим (с помощью цифр).

Такой способ изображения образов, в частности точки, дает возможность решать такие позиционные задачи, как:

  • расположение точки относительно плоскостей проекций (общее положение, принадлежность плоскости, оси);
  • положение точки в четвертях (в какой четверти расположена точка);
  • положение точек относительно друг друга, (выше, ниже, ближе, дальше относительно плоскостей проекций и зрителя);
  • положение проекций точки относительно плоскостей проекций (равноудаление, ближе, дальше).

Метрические задачи:

  • равноудаленность проекции от плоскостей проекций;
  • отношение удаления проекции от плоскостей проекций (в 2–3 раза, больше, меньше);
  • определение расстояния точки от плоскостей проекций (при введении системы координат).

Вопросы для самоанализа

1. Линией пересечения каких плоскостей является ось z ?

2. Линией пересечения каких плоскостей является ось y ?

3. Как располагается линия проекционной связи фронтальной и профильной проекции точки? Покажите.

4. Какими координатами определяется положение проекции точки: горизонтальной, фронтальной, профильной?

5. В какой четверти располагается точка F (10; –40; –20)? От какой плоскости проекций точка F удалена дальше всего?

6. Расстоянием от какой проекции до какой оси определяется удаление точки от плоскости p 1 ? Какой координатой точки является это расстояние?

В ряде случаев, для удобства решения задач необходимо использовать дополнительные плоскости проекций, перпендикулярные к уже имеющимся плоскостям проекций.

Если заданы горизонтальная и фронтальная проекции точки, то профильная проекция определяется по следующему алгоритму.

    Проводим линию проекционной связи перпендикулярную оси Oz .

    На данной линии проекционной связи откладываем отрезок А 1 А X Z А 3 .

Используя данное правило, можно строить проекции точек на дополнительные плоскости проекций (метод замен плоскостей).

Пусть дана точка А(А 2 1 ) и новая дополнительная плоскость проекций П 4 П 1 . Построить А 4 – проекцию точки А на П 4 .

Решение

а) Строим линию пересечения плоскостей П 1 и П 4 = x 1,4 ;

b) Через точку А проводим линию проекционной связи x 1,4 .

c) Строим проекцию А 4 , использую равенство отрезков А 2 А X 4 А X .

    Две проекции точки А 1 и А 4 лежат на одной линии проекционной связи перпендикулярной к оси X 1,4 .

    Расстояние от “новой” проекции точки А 4 до “новой” оси x 1,4 равно расстоянию от “старой” проекции точки А 2 до “старой” оси x 1,2 .

Конкурирующие точки

Конкурирующими точками называют пару точек, лежащих на одном проецирующем луче .

Из двух конкурирующих точек видимой является та точка, которая дальше распологается от плоскости проекций.

Точки А и В называют горизонтально конкурирующими.

Точки С и D называют фронтально конкурирующими.


Ввести дополнительную плоскость так, чтобы точки А и В стали конкурирующими.

План решения:

1 Строим ось x 1,4 A 1 , B 1 ;

2 Строим линию проекционной связи x 1,4 ;

3 На линии проекционной связи откладываем отрезки A x A 2 = A / x A 4 , B x B 2 = B / x B 4 .

Материал для самостоятельного изучения Моделирование объектов 2d-графики в графической системе компас Запуск системы компас и завершение работы

Система КОМПАС-3D-V8запускается аналогично другим программам. Для запуска системы необходимо выбрать меню \Пуск \ Все п рограммы \ АСКОН \ КОМПАС-3 D - V 8 и запустить КОМПАС . Можно выбрать указателем мыши на поле рабочего стола ярлык программы и дважды щелкнуть левой кнопкой мыши. Чтобы открыть документ, необходимо нажать кнопкуОткрыть на панели Стандартная . Чтобы начать новый документ нажмите кнопку Создать на панели Стандартная или выполните команду Файл > Создать и в открывшемся диалоговом окне выберите тип создаваемого документа и нажмите ОК .

Для завершения работы выбрать меню Файл \Выход , комбинацию клавиш Alt-F4 или щелкнуть на кнопке Закрыть.

Основные типы документов графической системы компас

Тип документа, создаваемого в системе КОМПАС, зависит от рода информации, хранящейся в этом документе. Каждому типу документа соответствует расширение имени файла и собственная пиктограмма.

1 Чертеж - основной тип графического документа в КОМПАС. Чертеж содержит графическое изображение изделия в одном или нескольких видах, основную надпись, рамку. Чертеж КОМПАС всегда содержит один лист заданного пользователем формата. Файл чертежа имеет расширение .cdw .

2 Фрагмент - вспомогательный тип графического документа в КОМПАС. Фрагмент отличается от чертежа отсутствием рамки, основной надписи и других объектов оформления конструкторского документа. Во фрагментах хранятся созданные типовые решения для последующего использования в других документах. Файл фрагмента имеет расширение .frw .

3 Текстовый документ (расширение файла . kdw );

4 Спецификация (расширение файла . spw );

5 Сборка (расширение файла . a 3 d );

6 Деталь - Трехмерное моделирование (расширение файла . m 3 d );

Положение точки в пространстве может быть задано двумя её ортогональными проекциями, например, горизонтальной и фронтальной, фронтальной и профильной. Сочетание любых двух ортогональных проекций позволяет узнать значение всех координат точки, построить третью проекцию, определить октант, в котором она находится. Рассмотрим несколько типичных задач из курса начертательной геометрии.

По заданному комплексному чертежу точек A и B необходимо:

Определим сначала координаты т. A, которые можно записать в виде A (x, y, z). Горизонтальная проекция т. A – точка A", имеющая координаты x, y. Проведем из т. A" перпендикуляры к осям x, y и найдем соответственно A х, A у. Координата х для т. A равна длине отрезка A х O со знаком плюс, так как A х лежит в области положительных значений оси х. С учетом масштаба чертежа находим х = 10. Координата у равна длине отрезка A у O со знаком минус, так как т. A у лежит в области отрицательных значений оси у. С учетом масштаба чертежа у = –30. Фронтальная проекция т. A – т. A"" имеет координаты х и z. Опустим перпендикуляр из A"" на ось z и найдем A z . Координата z точки A равна длине отрезка A z O со знаком минус, так как A z лежит в области отрицательных значений оси z. С учетом масштаба чертежа z = –10. Таким образом, координаты т. A (10, –30, –10).

Координаты т. B можно записать в виде B (x, y, z). Рассмотрим горизонтальную проекцию точки B – т. В". Так как она лежит на оси х, то B x = B" и координата B у = 0. Абсцисса x точки B равна длине отрезка B х O со знаком плюс. С учетом масштаба чертежа x = 30. Фронтальная проекция точки B – т. B˝ имеет координаты х, z. Проведем перпендикуляр из B"" к оси z, таким образом найдем B z . Аппликата z точки B равна длине отрезка B z O со знаком минус, так как B z лежит в области отрицательных значений оси z. С учетом масштаба чертежа определим значение z = –20. Таким образом, координаты B (30, 0, -20). Все необходимые построения представлены на рисунке ниже.

Построение проекций точек

Точки A и B в плоскости П 3 имеют следующие координаты: A""" (y, z); B""" (y, z). При этом A"" и A""" лежат одном перпендикуляре к оси z, так как координата z у них общая. Точно также на общем перпендикуляре к оси z лежат B"" и B""". Чтобы найти профильную проекцию т. A, отложим по оси у значение соответствующей координаты, найденное ранее. На рисунке это сделано с помощью дуги окружности радиуса A у O. После этого проведем перпендикуляр из A у до пересечения с перпендикуляром, восстановленным из точки A"" к оси z. Точка пересечения этих двух перпендикуляров определяет положение A""".

Точка B""" лежит на оси z, так как ордината y этой точки равна нулю. Для нахождения профильной проекции т. B в данной задаче необходимо лишь провести перпендикуляр из B"" к оси z. Точка пересечении этого перпендикуляра с осью z есть B""".

Определение положения точек в пространстве

Наглядно представляя себе пространственный макет, составленный из плоскостей проекций П 1 , П 2 и П 3 , расположение октантов , а также порядок трансформации макета в эпюр, можно непосредственно определить, что т. A расположена в III октанте, а т. B лежит в плоскости П 2 .

Другим вариантом решения данной задачи является метод исключений. Например, координаты точки A (10, -30, -10). Положительная абсцисса x позволяет судить о том, что точка расположена в первых четырех октантах. Отрицательная ордината y говорит о том, что точка находится во втором или третьем октантах. Наконец, отрицательная аппликата z указывает на то, что т. A расположена в третьем октанте. Приведенные рассуждения наглядно иллюстрирует следующая таблица.

Октанты Знаки координат
x y z
1 + + +
2 + +
3 +
4 + +
5 + +
6 +
7
8 +

Координаты точки B (30, 0, -20). Поскольку ордината т. B равна нулю, эта точка расположена в плоскости проекций П 2 . Положительная абсцисса и отрицательная аппликата т. B указывают на то, что она расположена на границе третьего и четвертого октантов.

Построение наглядного изображения точек в системе плоскостей П 1 , П 2 , П 3

Используя фронтальную изометрическую проекцию, мы построили пространственный макет III октанта. Он представляет собой прямоугольный трехгранник, у которого гранями являются плоскости П 1 , П 2 , П 3 , а угол (-y0x) равен 45 º. В этой системе отрезки по осям x, y, z будут откладываться в натуральную величину без искажений.

Построение наглядного изображения т. A (10, -30, -10) начнем с её горизонтальной проекции A". Отложив по оси абсцисс и ординат соответствующие координаты, найдем точки A х и A у. Пересечение перпендикуляров, восстановленных из A х и A у соответственно к осям x и y определяет положение т. A". Отложив от A" параллельно оси z в сторону её отрицательных значений отрезок AA", длина которого равна 10, находим положение точки A.

Наглядное изображение т. B (30, 0, -20) строится аналогично – в плоскости П 2 по осям x и z нужно отложить соответствующие координаты. Пересечение перпендикуляров, восстановленных из B х и B z , определит положение точки B.

Поделитесь с друзьями или сохраните для себя:

Загрузка...