Аддитивные и мультипликативные погрешности. Расчёт аддитивных и мультипликативных составляющих погрешностей результатов измерений Статистические характеристики прибора при систематической аддитивной погрешности
Погрешность средства измерений - разность между показанием средства измерений и истинным (действительным) значением измеряемой физической величины.
Погрешность меры - разность между номинальным значением меры и действительным значением воспроизводимой ею величины. Поскольку истинное значение физической величины неизвестно, то на практике пользуются ее действительным значением, которое воспроизводится образцовым средством измерений или мерой. Для самой меры показанием является ее номинальное значение.
На рисунке 3.1 показана классификация погрешностей средств измерений, в которой они условно разбиты на пять групп в зависимости от природы их происхождения.
Рисунок 3.1 - Классификация погрешностей средств измерений
Систематическая погрешность средства измерений - составляющая погрешности измерения, которая при повторении равноточных измерений остаётся постоянной или закономерно изменяется. Эту погрешность можно исключить или вносить соответствующие поправки.
Систематическая погрешность конкретного средства измерений, как правило, будет отличаться от систематической погрешности другого экземпляра средства измерений этого же типа, вследствие чего для группы однотипных средств измерений систематическая погрешность может иногда рассматриваться как случайная погрешность. Причины возникновения систематических погрешностей и их классификация будут рассмотрены отдельно.
Случайная погрешность средства измерений (случайная погрешность) - составляющая погрешности измерения, которая изменяется случайным образом. случайная погрешность может быть обнаружена при повторных измерениях одной и той же величины, когда получаются неодинаковые результаты. Её нельзя исключить, но их влияние на результата измерения может быть теоретически учтено методами теории вероятности и математической статистики.
Промах - погрешность результата отдельного измерения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда. Иногда вместо термина «промах» применяют термин грубая погрешность измерений.
Промахи связаны с резким нарушением условий испытаний при отдельном наблюдении: толчки, неисправности измерительной аппаратуры, неправильные действия наблюдателя. Результаты измерений, содержащие промахи, должны быть отброшены как недостоверные.
Основная погрешность средства измерений (основная погрешность) - погрешность средства измерений, применяемого в нормальных условиях.
Дополнительная погрешность средства измерений (дополнительная погрешность) - составляющая погрешности средства измерений, возникающая дополнительно к основной погрешности вследствие отклонения какой-либо из влияющих величин от нормального ее значения или вследствие ее выхода за пределы нормальной области значений.
Статическая погрешность средства измерений (статическая погрешность) - погрешность средства измерений, применяемого при измерении физической величины, принимаемой за неизменную.
Динамическая погрешность средства измерений (динамическая погрешность) - погрешность средства измерений, возникающая при измерении изменяющейся (в процессе измерений) физической величины.
Абсолютная погрешность средства измерений (абсолютная погрешность) - погрешность средства измерений, выраженная в единицах измеряемой физической величины
D = х изм - х д, (3.1)
где х изм - измеренное значение, х д - действительное значение измеряемой величины.
Абсолютное значение погрешности - значение погрешности без учета ее знака (модуль погрешности). Необходимо различать термины абсолютная погрешность и абсолютное значение погрешности.
Относительная погрешность средства измерений (относительная погрешность) - погрешность средства измерений, выраженная отношением абсолютной погрешности средства измерений к результату измерений или к действительному значению измеренной физической величины
. (3.2*)
Приведенная погрешность средства измерения (приведенная погрешность) - относительная погрешность, выраженная отношением абсолютной погрешности средства измерений к условно принятому значению величины, по-
стоянному во всем диапазоне измерений или в части диапазона
, (3.3)
где - нормирующее значение.Часто за нормирующее значение принимают верхний предел измерений.
Аддитивная погрешность (по лат. - получаемая путем сложения ) - погрешность, не зависящая от измеряемой величины. По закономерности проявления аддитивные погрешности могут быть случайными или систематическими.
Случайная аддитивная погрешность, например, вызываемая трением в опорах измерительного механизма, контактными сопротивлениями, дрейфом нуля и др., при изменении измеряемой величины принимать произвольное, но не зависящее от измеряемой величины значения. Её предельные значения образуют на характеристике полосу постоянной величины (рисунок 3.2,а). Точно такая же картина будет, если погрешность представляется как приведенная, поскольку знаменатель в выражении (3.3) не изменяется на протяжении всей шкалы независимо от значения измеряемой величины.
Примером систематической аддитивной погрешности является смещение нуля характеристики аналогового средства измерения (рисунок 3.2,б).
1 - фактическая характеристика, смещенная влево на длину О-О ¢ ; 2 - номинальная характеристика прибора; D с - значение систематической погрешности;
D 0 пр - предельное значение случайной погрешности
Рисунок 3.2 - Смещение характеристик аналогового измерительного прибора под влиянием аддитивных систематической (а) и случайной (б) погрешностей
Мультипликативная погрешность (по лат. - получаемая путем умножения ) - погрешность, величина которой изменяется прямо пропорционально измеряемой величине.
Пример - Источники мультипликативной погрешности - действие влияющих величин на параметры элементов и узлов СИ, например, изменение собственного сопротивления амперметра и встроенного в него шунта при изменении температуры окружающей среды.
В этом случае результат измерения определяется по формуле:
Поскольку при изменении температуры окружающей среды сопротивления и изменяются неодинаково, т.к. сделаны из разных материалов, погрешность измерения будет изменяться пропорционально соотношению этих сопротивлений.
Погрешность нелинейности имеет нелинейную зависимость от измеряемой величины. Чаще всего возникает как систематическая погрешность, связанная с линеаризацией номинальной статической характеристики.
Вариация имеет нелинейную зависимость от измеряемой величины, появляется вследствие гистерезисных явлений, вариации, проявляющейся при подходе к измеряемой точке со стороны меньших и больших значений; проявляется как систематическая погрешность (рисунок 3.3).
Рисунок 3.3 - Графическое представление вариации
Учёт всех нормируемых метрологических характеристик средств измерений является сложной и трудоёмкой процедурой. На практике такая точность не нужна. Поэтому для средств измерений, используемых в повседневной практике, принято деление на классы точности.
Класс точности средств измерений (класс точности) - обобщенная характеристика данного типа средств измерений, как правило, отражающая уровень их точности, выражаемая нормируемыми метрологическими характеристиками.
Класс точности дает возможность судить о том, в каких пределах находится погрешность средства измерений одного типа, но не является непосредственным показателем точности измерений, выполняемых с помощью каждого из этих средств. Это важно при выборе средств измерений в зависимости от заданной точности измерений. Класс точности средств измерений конкретного типа устанавливают в стандартах технических требований (условий) или в других нормативных документах.
Нормируемые метрологические характеристики типа средства измерений (нормируемые метрологические характеристики) - совокупность метрологических характеристик данного типа средств измерений, устанавливаемая нормативными документами на средства измерений
Требования к нормируемым метрологическим характеристикам устанавливаются в стандартах на средства измерений конкретного типа.
Например, для электроизмерительных приборов нормируют:
Пределы допускаемых погрешностей и соответствующие рабочие области влияющих величин;
Пределы допускаемых дополнительных погрешностей и соответствующие рабочие области влияющих величин;
Пределы допускаемой вариации показаний;
Невозвращение указателей к нулевой отметке.
Предел допускаемой погрешности средства измерений (предел допускаемой погрешности, предел погрешности) - наибольшее значение погрешности средств измерений, устанавливаемое нормативным документом для данного типа средств измерений, при котором оно еще признается годным к применению.
При превышении установленного предела погрешности средство измерений признается негодным для применения (в данном классе точности).
Обычно устанавливают пределы допускаемой погрешности, то есть границы зоны, за которую не должна выходить погрешность.
Пример - Для 100-миллиметровой концевой меры длины 1-го класса точности пределы допускаемой погрешности ±50 мкм.
Пределы допускаемой абсолютной основной погрешности устанавливают по формуле
где и - положительные числа, не зависящие от .
Пределы допускаемой приведенной погрешности
где - положительное число, выбираемое из ряда
(1; 1,5; 2,0; 2,5; 4,0; 5,0; 6,0), при . (3.6)
Пределы допускаемой относительной основной погрешности определяют из уравнения
если установлено по формуле (3.4).
Если же D определено по формуле (3.4 *), т.е. имеется мультипликативная составляющая погрешности, пределы допускаемой относительной основной погрешности определяют по формуле
, (3.8)
где - больший по модулю из пределов измерений; 
. Значения чисел и должны быть округлены до чисел из ряда (3.6).
Класс точности средств измерений характеризует их свойства в отношении точности, но не является непосредственным показателем точности измерений, выполняемых с помощью этих средств. Классы точности присваиваются средствам измерений с учётом результатов государственных приёмочных испытаний.
Общие положения о делении средств измерений на классы точности и способы нормирования метрологических характеристик регламентированы ГОСТ 8.401—80. Однако этот стандарт не устанавливает классы точности средств измерения, для которых предусмотрены нормы отдельно для систематической и случайной составляющих погрешности, а также если необходимо учитывать динамические характеристики.
Если класс точности прибора установлен по пределу допускаемой относительной основной погрешности, т.е по значению погрешности чувствительности [см. формулу (3.7)] и форма полосы погрешности принята чисто мультипликативной, обозначаемое на шкале значение класса точности обводится кружком.
Пример - обозначает, что = 1,5 %.
Если же полоса погрешности принята аддитивной и прибор нормируется по пределу допускаемой приведенной основной погрешности [см. формулу (3.5)], т.е. по значению погрешности нуля (таких приборов большинство), то класс точности указывается на шкале без каких-либо подчеркиваний.
Пример - 1,5 обозначает, что = 1,5 %.
Если шкала прибора неравномерная (например, у омметров), предел допускаемой основной приведенной погрешности выражается формулой (3.5), а нормирующее значение принято равным длине шкалы или ее части, класс точности обозначается на шкале одним числом, помещенным между двумя линиями, расположенными под углом.
Пример - обозначает, что = 0,5 %.
Если средство измерений обладает как аддитивной, так и мультипликативной полосой погрешности, а пределы допускаемой относительной погрешности в процентах устанавливаются формулой (3.8), классы точности обозначают числами с и d (в процентах), разделяя их косой чертой.
Пример
- Если установлено, что для средства измерения 
, где с = 0,02; d = 0,01, то обозначение в документации будет «класс точности 0,02/0,01», а на приборе 0,02/0,01.
Для средств измерений, пределы допускаемой основной погрешности которых принято выражать в форме абсолютных погрешностей по формуле (3.4), классы точности обозначают прописными буквами латинского алфавита или римскими цифрами. Чем дальше буква от начала алфавита, тем больше погрешность. Расшифровка соответствия букв значению абсолютной погрешности осуществляется в технической документации на средство измерения.
Для всех рассмотренных случаев вместе с условным обозначением класса точности на шкале, щитке или корпусе средств измерений наносится номер стандарта или технических условий, устанавливающих технические требования на эти средства измерений. Таким образом, обозначение класса точности средства измерений дает достаточно полную информацию для вычисления приближенной оценки погрешностей результатов измерений.
Примеры обозначения классов точности на шкалах приборов приведены на рисунке 3.4.
а - вольтметр класса точности 0,5 с равномерной шкалой;
б - амперметр класса точности 1,5 с равномерной шкалой; в - амперметр класса точности 0,02/0,01 с равномерной шкалой; г - мегаомметр класса точности 2,5 с неравномерной шкалой.
Рисунок 3.4 - Лицевые панели приборов
Любое средство измерений обладает статической характеристикой, т.е. характеристикой, функционально связывающей выходную величину Y c входной величиной X. Обычно статическая характеристика является линейной. При отсутствии погрешностей для нее справедливо соотношение
,
где Y н – номинальная статическая характеристика средства измерения; S н – номинальная чувствительность средства измерения.
Наличие погрешности средства измерения вызывает изменение чувствительности (S н +DS ), а также смещение результата измерения на величину D а, т.е.
Y = (S н +DS ) × X + D а.
Погрешность DY результата измерений при этом определится как
DY = Y – Y н = DS × X+ D а.
Первая составляющая погрешности является мультипликативной (D м = DS × X ), а вторая – аддитивной (D а = D а).
Дадим определение аддитив-ной и мультипликативной погреш-ностям.
Аддитивной называется погрешность абсолютное значение которой неизменно во всем диапазоне измеряемой величины.
Систематическая аддитивная погрешность смещает номинальную характеристику параллельно вверх или вниз на величину ±D а (рис. 5.2).
Примером систематической аддитивной погрешности может служить погрешность от неточной установки прибора на нуль, от контактной э.д.с. в цепи постоянного тока. Аддитивную погрешность еще называют погрешностью нуля.
Мультипликативной называют погрешность абсолютное значение которой изменяется пропорционально измеряемой величине.
При систематической мульти-пликативной погрешности реальная характеристика отклоняется от но-минальной вверх или вниз (рис.5.3).
Примерами систематических мультипликативных погрешностей являются погрешности из-за изменения коэффициента деления делителя напряжения, из-за изменения жесткости пружины измерительного механизма и т.п. Мультипликативную погрешность еще называют погрешностью чувствительности.
В средствах измерения аддитивные и мультипликативные погрешности, как правило, присутствуют одновременно. В этом случае результирующая погрешность определяется суммой аддитивной и мультипликативной погрешностей D = D а +D м = D а + d м × Х , где d м – относительная мультипликативная погрешность. В зависимости от соотношений аддитивной (D а) и мультипликативной (D м) погрешностей классы точности средств измерений обозначаются по-разному. Можно выделить три характерных случая соотношения этих погрешностей 1) D а = 0, D м ¹ 0; 2) D а ¹ 0, D м = 0; 3) D а @ D м.
Дополнительная погрешность – возникает при отклонениях влияющих факторов от нормальных.
Три формы погрешности.
1. Абсолютная погрешность
2.Относительная погрешность
3. Приведенная погрешность
где Х n – диапазон измерений.
Метрологические характеристики средств измерения
1. Функция преобразования (градуировочная характеристика) – это зависимость между входной и выходной величинами. Выражается в виде графиков, формул и таблиц.
Функция преобразования бывает:
· линейная;
· нелинейная.
Под влиянием различных внешних факторов градуировочная характеристика может изменяться, при этом возникают аддитивные и мультипликативные погрешности.
Аддитивные –
это погрешность 0, т.е это погрешность, которая остается
постоянной на всем диапазоне измерения.
Мультипликативная - это погрешность крутизны характеристики, т.е погрешность, которая изменяется с увеличением диапазона измерения.
 |
|||
 |
|||
2. Вариация – это разность между двумя показаниями измерительного прибора, соответствующими данной точки диапазона измерений при двух направлениях медленных изменений измеряемой величины. Возникает вследствие трения в опорах и люфтах.
0 10 20 30 40 50 60 70
3. Класс точности – это обобщенная характеристика средств измерения, определяемая пределами, допускаемых основные и дополнительные погрешности, также другими свойствами средств измерения. Придел допускаемой погрешности средств измерения может устанавливаться в виде относительных, абсолютных или приведенной погрешности, в зависимости от характера ее измерения на всем диапазоне измерения.
Если средства измерения имеют аддитивную погрешность или она настолько велика, что мультипликативной можно принибречь, то в этом случае класс точности выражается через предел допустимой абсолютной погрешности.
Δ = + х; Δ = ± (а + вх);
В этом случае класс точности обозначается римскими цифрами или латинскими буквами. Однако указания только абсолютной погрешности позволяет сравнить между собой поточности средства измерения с разным диапазоном измерения, поэтому широкое распространение получило выражение класса точности через предел допускаемой приведенной погрешности.
=
+
Р; (1)
Шкалы бывают: равномерные и неравномерные.
Если шкала равномерная, то расчет ведется по формуле (1) в единицах измерения и класс точности записывается: 0,5…1,0.
Если шкала будет
логарифмическая или гиперболическая, то расчет погрешности ведется в мм: 
.
Для средства измерения с преобладающей мультипликативной погрешностью, класс точности удобно выражать через придел допускаемой относительной погрешности, т.к. она остается постоянной на всем диапазоне измерения.
=
+
q;
Пример: …
Для средств измерения, в которых присутствуют как аддитивная, так и мультипликативная погрешности, класс точности выражается через придел допустимой относительной погрешности.
;
где Х – измеряемое значение в данной точке;
Хк – конечное значение шкалы;
С/d = 0,01/0,03;
С – определяется при max значениях приборов, С = + δ;
d - придел допускаемой абсолютной погрешности при 0 показании прибора выраженный в % от верхнего придела измерения,
d = + · 100%;
;
где - суммарная погрешность;
Основная погрешность;
Сумма дополнительных погрешностей;
i – влияющий фактор.
4. Чувствительность средств измерения – это изменение сигнала на выходе к вызвавшему его изменению входной величины:
;
5. Порог чувствительности - это входное воздействие вызывающее min ощутимое изменение выходной величины (измеряется в единицах входной величины).
6. Динамических характеристики средств измерения – это зависимость, определяющая изменения выходной величины как реакцию на известное изменение входной величины (выражается в виде графиков и формул).
Х вх Х вых
Средства измерений.
2. Измерительные преобразователи.
3. Измерительные приборы.
4. Измерительные системы.
5. Вспомогательные средства измерения.
1. Меры – это средства измерения, имеющие нормированные метрологические характеристики, воспроизводящие одну или несколько единиц измерения физической величины.
Меры бывают:
· однозначные (батарейка, конденсаты, гиря);
· многозначные (линейка, набор гирь, конденсатор переменной емкости).
2. Измерительные преобразователи (датчик) – это средство измерения, имеющие нормированные метрологические характеристики, предназначенные для преобразования одной физической величины в другую или в сигнал измерительной информации удобной для хранения, воспроизведения, передачи на расстояние, дальнейших преобразований, но не удобной для непосредственного восприятия наблюдателя.
Источником мультипликативных погрешностей является изменение параметров прибора, вызывающее нестабильность общего коэффициента чувствительности Н = АК/К 0 . Чаще всего это возникает из-за изменения параметров источников питания, изменения температуры окружающей среды, неверной установки прибора и пр. Как уже отмечалось, для устранения систематической мультипликативной погрешности проводится калибровка прибора.
Для уменьшения случайной мультипликативной погрешности используется рациональный выбор параметров и структуры ИУ. Обычно известно необходимое, заданное или желаемое значение общего коэффициента чувствительности ИУ К = К ж. Например, если в качестве ИУ рассматривается ИП, то К ж = 1. Поэтому определение оптимальных значений коэффициентов чувствительности звеньев И У сводится к совместному выполнению двух условий
где функции К = K(k { ,k 2 ,...,k N) и D H = D H (k { ,k 2 >... f k N) зависят от вида структурной схемы ИУ.
В табл. 9.4 показаны результаты решения этой задачи для типовых соединений звеньев И У. Из этой таблицы видно, что при последовательном соединении звеньев ИУ дисперсия D H равна сумме дисперсий погрешностей звеньев D s . В этом случае она не зависит от значений коэффициентов чувствительности звеньев ИУ. Поэтому повышение точности измерений в таких ИУ может достигаться только за счет повышения точности их звеньев (снижения дисперсий D s), или уменьшения числа звеньев N. Исходя из принципа равноточности, рекомендуется при построении таких ИУ выбирать звенья с одинаковыми (или близкими) значениями величин
D s = D Xf /ЛГ, где D M - допустимое значение дисперсии мультипликативной погрешности.
Таблица 9.4
Оптимальные значения коэффициентов чувствительности
звеньев ИУ
Примечание. Принцип равноточности в измерительных системах в известной степени аналогичен принципу равнопрочное™ в механических системах и принципу рав- нонадежности в технических системах.
Условие К = К ж может достигаться выбором необходимого значения коэффициента чувствительности любого звена ИУ. Обычно роль такого звена в приборах выполняет усилитель с регулируемым коэффициентом усиления.
При параллельном и встречно-параллельном соединениях существуют оптимальные значения коэффициентов чувствительности звеньев (и, следовательно, оптимальные параметры ИУ), при которых достигается минимальное значение величины О п и выполняется требование К = К Ж. Их значения зависят от желаемого значения общего коэффициента чувствительности К ж и дисперсий погрешностей звеньев ИУ D s . При таких соединениях звеньев (параллельном и встречно-параллельном) минимальное значение D u равно среднему геометрическому дисперсий погрешностей звеньев. В частности, если И У имеет два звена, то
Отсюда следует: если D x 2 , то D Hm}
Загрузка...