1. Чтобы найти координаты точки пересечения графиков функций нужно приравнять обе функции друг к другу, перенести в левую часть все члена, содержащие $ x $, а в правую остальные и найти корни, полученного уравнения.
2. Второй способ заключается в том, что нужно составить систему уравнений и решить её путём подстановки одной функции в другую
3. Третий способ подразумевает графическое построение функций и визуальное определение точки пересечения.

Случай двух линейных функций

Рассмотрим две линейные функции $ f(x) = k_1 x+m_1 $ и $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Эти функции называются прямыми. Построить их достаточно легко, нужно взять любые два значения $ x_1 $ и $ x_2 $ и найти $ f(x_1) $ и $ (x_2) $. Затем повторить тоже самое и с функцией $ g(x) $. Далее визуально найти координату точки пересечения графиков функций.

Следует знать, что линейные функции имеют только одну точку пересечения и только тогда, когда $ k_1 \neq k_2 $. Иначе, в случае $ k_1=k_2 $ функции параллельны друг другу, так как $ k $ - это коэффициент угла наклона. Если $ k_1 \neq k_2 $, но $ m_1=m_2 $, тогда точкой пересечения будет $ M(0;m) $. Это правило желательно запомнить для ускоренного решения задач.

Случай двух нелинейных функций

Всякий определенный график задается соответствующей функцией. Процесс нахождение точки (нескольких точек) пересечения 2-х графиков сводится к решению уравнения вида f1(x)=f2(x), решение которого и будет являться желанной точкой.

Вам понадобится

• – бумага;
• – ручка.

Инструкция

1. Еще из школьного курса математики ученикам становится вестимо, что число допустимых точек пересечения 2-х графиков напрямую зависит от вида функций. Так, скажем, линейные функции будут иметь только одну точку пересечения , линейная и квадратная – две, квадратные – две либо четыре, и т.д.

2. Разглядим всеобщий случай с двумя линейными функциями (см. рис.1). Пускай y1=k1x+b1, а y2=k2x+b2. Дабы обнаружить точку их пересечения нужно решить уравнение y1=y2 либо k1x+b1=k2x+b2.Преобразовав равенство, вы получите: k1x-k2x=b2-b1.Выразите x дальнейшим образом:x=(b2-b1)/(k1-k2).

3. Позже нахождения значения х – координаты точки пересечения 2-х графиков по оси абсцисс (ось 0Х), остается вычислить координату по оси ординат (ось 0У). Для этого нужно подставить в всякую из функций, полученное значение х.Таким образом, точка пересечения у1 и у2 будет иметь следующие координаты: ((b2-b1)/(k1-k2);k1(b2-b1)/(k1-k2)+b2).

4. Проанализируйте пример расчета нахождения точки пересечения 2-х графиков (см. рис.2).Нужно обнаружить точку пересечения графиков функций f1 (x)=0,5x^2 и f2 (x)=0,6x+1,2.Приравняв f1 (x) и f2 (x), получите следующее равенство:0,5x^ =0,6x+1,2. Перенеся все слагаемые в левую часть, получите квадратное уравнение вида:0,5x^2 -0,6x-1,2=0.Решением этого уравнения будут два значения х: x1?2,26,x2?-1,06.

5. Подставьте значения х1 и х2 в всякое из выражений функций. Скажем, и f_2 (x1)=0,6 2,26+1,2=2,55, f_2 (x2)=0,6 (-1,06)+1,2=0,56.Выходит, желанными точками являются: т.А (2,26;2,55) и т.В (-1,06;0,56).

Совет 2: Как обнаружить координаты точек пересечения графика функции

График функции y = f (х) – это уйма всех точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют соотношению y = f(x). График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Для построения графика традиционно выбирается несколько значений довода х и для них вычисляются соответствующие значения функции y=f(x). Для больше точного и наглядного построения графика благотворно обнаружить его точки пересечения с осями координат.

Инструкция

1. Дабы обнаружить точку пересечения графика функции с осью y, нужно вычислить значение функции при х=0, т.е. обнаружить f(0). Для примера воспользуемся графиком линейной функции, изображенной на рис.1. Ее значение при х=0 (y=a*0+b) равно b, следственно, график пересекает ось ординат (ось Y) в точке (0,b).

2. При пересечении оси абсцисс (оси Х) значение функции равно 0, т.е. y=f(x)=0. Для вычисления х нужно решить уравнение f(x)=0. В случае линейной функции получаем уравнение ax+b=0, откуда и находим x=-b/a.Таким образом, ось Х пересекается в точке (-b/a,0).

3. В больше трудных случаях, скажем, в случае квадратичной зависимости y от х, уравнение f(x)=0 имеет два корня, следственно, ось абсцисс пересекается двукратно. В случае периодической зависимости y от х, скажем y=sin(x), ее график имеет безмерное число точек пересечения с осью Х.Для проверки правильности нахождения координат точек пересечения графика функции с осью Х нужно подставить обнаруженные значения х в выражение f(x). Значение выражения при любом из вычисленных х должно быть равно 0.

Раньше чем приступить к изысканию поведения функции, нужно определить область метаморфозы рассматриваемых величин. Примем допущение, что переменные относятся к множеству действительных чисел.

Инструкция

1. Функция – это переменная величина, зависящая от значения довода. Довод – переменная само­стоятельная. Пределы изменений довода именуются областью возможных значений (ОДЗ). Поведение функции рассматривается в рамках ОДЗ потому, что в этих пределах связанность между двумя переменными не хаотическая, а подчиняется определенным правилам и может быть записана в виде математического выражения.

2. Разглядим произвольную функциональную связанность F=?(x), где? – математическое выражение. Функция может иметь точки пересечения с осями координат либо с другими функциями.

3. В точках пересечения функции с осью абсцисс функция становится равной нулю:F(x)=0.Решите это уравнение. Вы получите координаты точек пересечения заданной функции с осью ОХ. Таких точек будет столько, сколько найдется корней уравнения на заданном участке метаморфозы довода.

4. В точках пересечения функции с осью ординат значение довода равно нулю. Следственно, задача превращается в нахождение значения функции при х=0. Точек пересечения функции с осью OY будет столько, сколько найдется значений заданной функции при нулевом доводе.

5. Для нахождения точек пересечения заданной функции с иной функцией нужно решить систему уравнений:F=?(x)W=?(x).Тут?(x) - выражение, описывающее заданную функцию F, ?(x) - выражение, описывающее функцию W, точки пересечения с которой заданной функции необходимо обнаружить. Видимо, что в точках пересечения обе функции принимают равные значения при равных значениях доводов. Всеобщих точек у 2-х функций будет столько, сколько решений у системы уравнений на заданном участке изменений довода.

Видео по теме

В точках пересечения функции имеют равные значения при идентичном значении довода. Обнаружить точки пересечения функций - значит определить координаты всеобщих для пересекающихся функций точек.

Инструкция

1. В всеобщем виде задача нахождения точек пересечения функций одного довода Y=F(x) и Y?=F?(x) на плоскости XOY сводится к решению уравнения Y= Y?, от того что в всеобщей точке функции имеют равные значения. Значения х, удовлетворяющие равенству F(x)=F?(x), (если они существуют) являются абсциссами точек пересечения заданных функций.

2. Если функции заданы несложным математическим выражением и зависят от одного довода х, то задачу нахождения точек пересечения дозволено решить графически. Постройте графики функций. Определите точки пересечения с осями координат (х=0, y=0). Задайте еще несколько значений довода, обнаружьте соответствующие значения функций, добавьте полученные точки на графики. Чем огромнее точек будет использовано для построения, тем вернее будет график.

3. Если графики функций пересекутся, определите по чертежу координаты точек пересечения. Для проверки подставьте эти координаты в формулы, которыми заданы функции. Если математические выражения окажутся объективными, точки пересечения обнаружены положительно. Если графики функций не пересекаются, испробуйте изменить масштаб. Сделайте шаг между точками построения огромнее, дабы определить, на каком участке числовой плоскости линии графиков сближаются. После этого на выявленном участке пересечения постройте больше подробнейший график с мелким шагом для точного определения координат точек пересечения.

4. Если необходимо обнаружить точки пересечения функций не на плоскости, а в трехмерном пространстве, доводится разглядеть функции 2-х переменных: Z=F(x,y) и Z?=F?(x,y). Для определения координат точек пересечения функций надобно решить систему уравнений с двумя незнакомыми х и y при Z= Z?.

Видео по теме

Как найти точки пересечения графиков в Excel? Например, есть графики, отображающие несколько показателей. Далеко не всегда они будут пересекаться непосредственно на поле диаграммы. Но пользователю нужно показать те значения, в которых линии рассматриваемых явлений пересекаются. Рассмотрим на примере.

Строим графики с точками пересечений

Имеются две функции, по которым нужно построить графики:

Выделяем диапазоны данных, на вкладке «Вставка» в группе «Диаграммы» подбираем нужный тип графика. Как:

1. Нужно найти точки пересечения графиков со значением Х, поэтому столбчатые, круговые, пузырьковые и т.п. диаграммы не выбираем. Это должны быть прямые линии.
2. Для поиска точек пересечения необходима ось Х. Не условная, на которой невозможно задать другое значение. Должна быть возможность выбирать промежуточные линии между периодами. Обычные графики не подходят. У них горизонтальная ось – общая для всех рядов. Периоды фиксированы. И манипулировать можно только с ними. Выберем точечную диаграмму с прямыми отрезками и маркерами.

Для данного типа диаграммы между основными периодами 0, 2, 4, 6 и т.д. можно использовать и промежуточные. Например, 2,5.

Находим точку пересечения графиков в Excel

В табличном редакторе Excel нет встроенной функции для решения подобной задачи. Линии построенных графиков не пересекаются (см. рисунок), поэтому даже визуально точку пересечения найти нельзя. Ищем выход.

Первый способ. Найти общие значения в рядах данных для указанных функций.

В таблице с данными таковых значений пока нет. Так как мы решали уравнения с помощью формул в полуавтоматическом режиме, с помощью маркера автозаполнения продолжим ряды данных.

Значения Y одинаковые при Х = 4. Следовательно, точка пересечения двух графиков имеет координаты 4, 5.

Изменим график, добавив новые данные. Получим две пересекающиеся линии.

Второй способ. Применение для решения уравнений специального инструмента «Поиск решения». Кнопка вызова инструмента должна быть на вкладке «Данные». Если нет, нужно добавить из «Надстроек Excel».

Преобразуем уравнения таким образом, чтобы неизвестные были в одной части: y – 1,5 х = -1; y – х = 1. Далее для неизвестных х и y назначим ячейки в Excel. Перепишем уравнения, используя ссылки на эти ячейки.

Вызываем меню «Поиск решения» - заполняем условия, необходимые для решения уравнений.

Нажимаем «Выполнить» - инструмент предлагает решение уравнений.

Найденные значения для х и y совпадают с предыдущим решением с помощью составления рядов данных.

Точки пересечения для трех показателей

Существует три показателя, которые измерялись во времени.

По условию задачи показатель В имеет постоянную величину на протяжении всех периодов. Это некий норматив. Показатель А зависит от показателя С. Он то выше, то ниже норматива. Строим графики (точечную диаграмму с прямыми отрезками и маркерами).

Точки пересечения имеются только у показателей А и В. Но их точные координаты нужно еще определить. Усложним задачу – найдем точки пересечения показателя C с показателями А и В. То есть в какие временные периоды и при каких значениях показателя А линия показателя С пересекает линию норматива.

Точек у нас будет две. Их рассчитаем математическим путем. Сначала найдем точки пересечения показателя А с показателем В:

На рисунке видно, какие значения использовались для расчета. По такой же логике находим значение х для второй точки.

Теперь рассчитаем точки, найденных значений по оси Х с показателем С. Используем близкие формулы:

На основе новых данных построим точечные диаграммы на том же поле (где наши графики).

Получается такой рисунок:

Для большей информативности и эстетики восприятия добавим пунктирные линии. Их координаты:

Добавим подписи данных – значения показателя C, при которых он пересечет линию норматива.

Можно форматировать графики по своему усмотрению – делать их более выразительными и наглядными.

Два графика на координатной плоскости, если они не параллельны, обязательно пересекаются в какой-либо точке. И нередко в алгебраических задачах такого типа требуется найти координаты данной точки. Поэтому знание инструкций по ее нахождению принесет большую пользу как школьникам, так и студентам.

Инструкция

• Любой график можно задать определенной функцией. Для того чтобы найти те точки, в которых графики пересекаются, нужно решить уравнение, которое имеет вид: f₁(x)=f₂(x). Результат решения и будет той точкой (или точками), которые вы ищете. Рассмотрите следующий пример. Пусть значение y₁=k₁x+b₁, а значение y₂=k₂x+b₂. Для нахождения точек пересечения на оси абсцисс необходимо решить уравнение y₁=y₂, то есть k₁x+b₁=k₂x+b₂.
• Преобразуйте данное неравенство, получив k₁x-k₂x=b₂-b₁. Теперь выразите x: x=(b₂-b₁)/(k₁-k₂). Таким образом вы найдете точку пересечения графиков, которая находится по оси OX. Найдите точку пересечения на оси ординат. Просто подставьте в какую-либо из функций значение x, которое вы нашли ранее.
• Предыдущий вариант подходит для линейной функции графиков. Если же функция квадратичная, воспользуйтесь следующими инструкциями. Таким же способом, как и с линейной функцией, найдите значение x. Для этого решите квадратное уравнение. В уравнении 2x² + 2x - 4=0 найдите дискриминант (уравнение дано для примера). Для этого используйте формулу: D= b² – 4ac, где b – значение перед X, а c – это числовое значение.
• Подставив числовые значения, получите выражение вида D= 4 + 4*4= 4+16= 20. От значения дискриминанта зависят корни уравнения. Теперь к значению переменной b со знаком «-» прибавьте или отнимите (по очереди) корень из полученного дискриминанта, и поделите на удвоенное произведение коэффициента a. Так вы найдете корни уравнения, то есть координаты точек пересечения.
• Графики квадратичной функции имеют особенность: ось OX будет пересекаться два раза, то есть вы найдете две координаты оси абсцисс. Если вы получите периодическое значение зависимости X от Y, тогда знайте, что график пересекается в бесконечном количестве точек с осью абсцисс. Проверьте, правильно ли вы нашли точки пересечения. Для этого подставьте значения X в уравнение f(x)=0.